三维旋转
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。

旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。

如果旋转角是θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。

从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。

因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。

1.Roll, Pitch 和 Yaw (类似于given式变化)
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。

关于右手笛卡尔坐标系的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做roll, pitch和yaw旋转。

因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

∙绕x-轴的主动旋转定义为:
这里的θx是 roll 角。

∙绕y-轴的主动旋转定义为:
这里的θy是 pitch 角。

∙绕z-轴的主动旋转定义为:
这里的θz是 yaw 角。

在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号γ, α, 和β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号θx, θy 和θz。

任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角θx, θy, 和θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

是在中的旋转矩阵
M仍然是det(M)=1,而且是正交的
在中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。

这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。

更高维的情况可参见 Givens旋转。

2.角-轴表示和四元数表示
在三维中，旋转可以通过单一的旋转角θ和所围绕的单位向量方向
来定义。

这个旋转可以简单的以生成元来表达:
在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：
角-轴表示密切关联于四元数表示。

依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q:
这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。

3.欧拉角表示
在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。

有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。

依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的主动旋转矩阵可表达为:
进行乘法运算生成:
因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。

4.对称保持 SVD 表示
对旋转轴 q 和旋转角θ，旋转矩阵
这里的的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是θ度 Givens 旋转，就是说。