数学模型数学实验课程设计学院：班级：姓名学号：设计时间：摘要：本实验建立了奖学金发放方案的优化模型。
为了使20万基金能永远利用下去，根据题目提供的原始数据及相关信息，首先立足于让基金得到最合理的利用，让每年发放的奖学金数额达到最大，之后采用将基金分批存入的形式让闲置的资金见到最少，鉴于此提出了四中方案并求解得：1、部分金额以2年为期存入银行，每年可发放奖学金5565元；2、部分金额以3年为期存入银行，每年可发放奖学金6613元；3、(ⅰ)第四年以两年连续存入两次，每年可发奖学金5594元；(ⅱ) 第四年以3年和1年存入，每年可发奖学金6109元；4、部分金额以5年为期存入银行，第四年以两年连续存入两次，每年可发奖学金7102元；第四年以3年和1年存入，每年可发奖学金7116元。
综合比较之下，将部分金额以5年为期存入银行，第四年以3年1年的形式可得最多利息，即第一年存入6960元，第二年存入6735元，第三年存入6450元，第四年存入6308元，剩余的第五年存入可使每年发放的奖学金数额达到最大。
此模型的中心在于怎样使基金得到子合理的利用，即怎样使资金能够存入银行时间更长，享利率最高。
解决了这一点，此题也就迎刃而解了。
课题：某人向学院捐款20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导计划将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续存入银行。
请研究这个问题，向院领导写一份报告。
要求：1、分析方案的合理性2、给出自己的方案解：一、分析查存款利率可知：定期存款一年的利率为2.25%即：将20万存入银行一年后可得利息：200000*2.25% = 4500 (元)①每年发奖学金不高于4500元的话，可永远持续下去，即用20万本金每年产生的利息全作为奖学金；②每年发奖学金高于4500元的话，设为 y ,则：第一年本金减少 ( y - 4500 )第二年本金减少 ( y - (200000 - (y - 4500))*2.25% )…………20万本金会不断减少，最终将全部发放完毕。
结论：若每年发奖学金数额不高于4500元时，方案可行；若每年发奖学金数额高于4500元时，本金最终将发放完毕；考虑实际情况，每年发4500元奖学金太少，20万本金没有得到充分利用。
所以此方案不可行。
二、建模：1、假设与参数⑴设每年发放奖学金数额一定，设为y 元；⑵设银行存款利率为 a ;⑶设发放奖学金年限为：s2、分析⑴利率不同：查银行存款利率为（以死期存款为准）：存款年限利率三个月 1.71六个月 1.98一年 2.25二年 2.79三年 3.33五年 3.60⑵由上表可知：定期存款时间越长，存款的利率越高；所以有可能的话，应该将资金尽可能以五年为期存入银行。
⑶资金合理利用：由分析可知：每年的奖学金小于20万及一年所得利息，所以，一年后剩余的钱将继续存入银行。
即：一大部分的钱存入银行一年后，取出再存入银行，这就导致部分资金不能得到更好的利用,流程图如下：将本金全部存入银行一年到期后全部取出从本息和中取出部分作为奖学金将剩余资金作为本金存入银行假设有资金n 始终在剩余资金中，即这部分资金始终都以定期存款一年的形式存入，所以每年可得利息n * 2.25% 。
但如果这部分资金以定期存款两年的形式存入，存款利率变为 2.79% ，如果以三年的形式，利率变为3.33% ，如果以五年的形式存入，利率变为3.60% 。
综上：应该将部分资金以2年或3年或5年的形式存入银行才能使资金得到合理利用。
①部分金额以2年为期存入银行： a1 = 2.25% a2 = 2.79%设以x1 万元存入一年，以x2 万元存入两年。
则： x1 * ( 1 + 2.25%) = y2x2 * ( 1 + 2.79%)^2 = 20 + y2x1 + x2 = 20②部分金额以3年为期存入银行：a3 = 3.33%则： x1 * ( 1 + 2.25%) = y3x2 * ( 1 + 2.79%)^2 = y3x3 * ( 1 + 3.33%)^3 = 20 + y3x1 + x2 + x3 = 20③(ⅰ)第四年以两年连续存入两次x1 * ( 1 + 2.25%) = y4x2 * ( 1 + 2.79%)^2 = y4x3 * ( 1 + 3.33%)^3 = y4x4 * ( 1 +2.79%)^4 = y4 + 20x1 + x2 + x3 + x4 = 20(ⅱ) 第四年以3年和1年存入x1 * ( 1 + 2.25%) = y4x2 * ( 1 + 2.79%)^2 = y4x3 * ( 1 + 3.33%)^3 = y4x4 * ( 1 +3.33%)^3( 1 + 2.25%) = y4 + 20x1 + x2 + x3 + x4 = 20④部分金额以5年为期存入银行：a5 = 3.60%则：(ⅰ) x1 * ( 1 + 2.25%) = y4x2 * ( 1 + 2.79%)^2 = y4x3 * ( 1 + 3.33%)^3 = y4x4 * ( 1 +2.79%)^4 = y4 (第四年以两年连续存入两次)x5 * ( 1 + 3.60%)^5 = 20 + y4x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20(ⅱ) x1 * ( 1 + 2.25%) = y4x2 * ( 1 + 2.79%)^2 = y4x3 * ( 1 + 3.33%)^3 = y4x4 * ( 1 +3.33%)^3( 1 + 2.25%) = y4 (第四年以3年和1年存入)x5 * ( 1 + 3.60%)^5 = 20 + y4x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20利用matlab解得：①[x1 x2 y]=solve('x1*(1+0.0225)=y','x2*(1+0.0279)^2=y+20','x1+x2=20','x1,x2,y') x1 =.54426432142114351521739865501273x2 =19.455735678578856484782601344987y =.55651026865311924430979012475051即：将0.5442万元以一年定期的形式存入，剩余资金以两年定期形式存入，则每年可发奖学金0.5565万元，即5565元，优于以一年为期的存款形式。
②[x1 x2 x3 y]=solve('x1*(1+0.0225)=y','x2*(1+0.0279)^2=y','x3*(1+0.0333)^3=y+20' ,'x1+x2+x3=20','x1,x2,x3,y')x1 =.64672264654413324264244690670303x2 =.62586354200761705948723858753071x3 =18.727413811448249697870314505766y =.66127390609137624060190196210385即：将0.6467万元以一年定期的形式存入，将0.6259万元以两年定期的形式存入，将剩余资金以三年定期的形式存入，则每年可发放奖学金0.6613万元，即6613元，优于以一年和两年为期的存款形式。
③(ⅰ)[x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,y]=solve('x1*(1+0.0225)=y','x2*(1+0.0279)^2=y','x3*(1+0.0333)^3 =y','x4*(1+0.0279)^4=y+20','x1+x2+x3+x4=20','x1,x2,x3,x4,y')x1 =.54707180284523552801771763337398x2 =.52942679229008032389959234556467x3 =.50702381590273503976806199599599x4 =18.416477588961949108314628025065y =.55938091840925332739811628012489此方案每年可发奖学金0.5594万元，即5594元，少于上述方案②，舍去。
(ⅱ)[x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,y]=solve('x1*(1+0.0225)=y','x2*(1+0.0279)^2=y','x3*(1+0.0333)^3= y','x4*(1+0.0225)*(1+0.0333)^3=y+20','x1+x2+x3+x4=20','x1,x2,x3,x4,y')x1 =.59744932958138474764312702303014x2 =.57817946469014628499279800828821x3 =.55371349303224766715034819055496x4 =18.270657712696221300213726778127y =.61089193949696590446509738104832此方案每年可发奖学金0.6109万元，即6109元，少于上述方案②，舍去。
④(ⅰ)[x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,y]=solve('x1*(1+0.0225)=y','x2*(1+0.0279)^2=y','x3*(1+0.0333)^ 3=y','x4*(1+0.0279)^4=y','x5*(1+0.036)^5=20+y','x1+x2+x3+x4+x5=20','x1,x2,x 3,x4,x5,y')x1 =.69455462115948991824476417333068x2 =.67215276539256413672627606239902x3 =.64371026351871140834332309929849x4 =.63615985243590595110331287424188x5 =17.353422497493328585582323790730y =.71018210013557844140527136723062即：将0.6946万元以一年定期的形式存入，将0.6722万元以两年定期的形式存入，将0.6437万元以三年定期的形式存入，将0.6363万元以两年为期连续存入两次，剩余资金以五年定期形式存入，每年可发奖学金0.7102万元，即7102元，优于上述方案②。