若 1,2, ,r与 1,2, ,s为两线性无关的 等价向量组，则 rs.
（3）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r,线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r线性表出，且表法是唯一的．
6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
k1
k1 k2 k3
k2 2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 (1)(21)(2)0 1 2
6.3 维数 基 坐标
∴方程组②只有零解： k1k2k30 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V的一组基.
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
则数组 a1,a2, ,an，就称为 在基1,2, ,n
下的坐标，记为 (a1,a2, ,an).
6.3 维数 基 坐标
有时也形式地记作 ( 1 , 2 ,
注意：
a1
,
n
)
a
2
a
n
向量 的坐标(a1,a2, ,an)是被向量 和基1,2, ,n
唯一确定的．即向量 在基 1,2, ,n 下的坐标唯一的.
一般地，向量空间
P n { ( a 1 ,a 2 ,,a n ) a i P , i 1 ,2 ,,n } 为n维的，
1 ( 1 , 0 , , 0 ) , 2 ( 0 , 1 , , 0 ) , , n ( 0 , , 0 , 1 ) 就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
6.3 维数 基 坐标
使 k 11 k 22 k rr
则称向量 可经向量组 1,2, ,r 线性表出；
6.3 维数 基 坐标
若向量组 1,2, ,s 中每一向量皆可经向量组
1,2, ,r线性表出，则称向量组 1,2, ,s
可经向量组 1,2, ,r线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2, ,r线性相关 1, 2, , r中有一个向量可经其余向量线性表出．
6.3 维数 基 坐标
（2）若向量组1,2, ,r 线性无关，且可被
向量组 1,2, ,s 线性表出，则 r s ;
(n 1 )! 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x a n 1 x n 1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
(f(a), f(a),
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1） 1 ,2 ,,r V ( r 1 ) ,k 1 , k 2 ,, k r P ,和式
k 11 k 22 k rr
称为向量组 1,2, ,r的一个线性组合．
（2） 1 , 2 , ,r, V ，若存在 k1,k2, ,kr P
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
6.3 维数 基 坐标
3、线性空间的基与维数的确定
定理：若线性空间V中的向量组1,2, ,n满足 ⅰ） 1,2, ,n线性无关； ⅱ） V, 可经 1,2, ,n线性表出 ,
则V为n 维线性空间，1,2, ,n为V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
证明：∵ a1,a2, ,an线性无关，
dimV＝ 0 V＝{0}
6.3 维数 基 坐标
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1,2, ,n，称为 V 的一组基；
（3）坐标
设 1,2, ,n 为线性空间 V 的一组基， V,
若 a 1 1 a 2 2 a n n , a 1 , a 2 ,, a n P
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.3 维数 · 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
6.3 维数 基 坐标
6.3 维数 基 坐标
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b a b , k a a k a , b R , k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
Vf(A)
f(x)R[x],A0 0
0
第 j列
mn
A (a ij) P m n , 有 A a ijE ij
6.3 维数 基 坐标
i 1i 1
例6 在线性空间 P 4 中求向量 (1,2,1,1)在基
1,2,3,4下的坐标，其中
1 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 2 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 3 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 4 ( 1 , 1 , 1 , 1 )
（3）1,2, ,r V，若存在不全为零的数
k1,k2, ,kr P，使得
k 1 1 k 22 k rr 0
则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
6.3 维数 基 坐标
（4）如果向量组 1,2, ,r不是线性相关的，即
k 1 1 k 22 k rr 0
只有在 k 1 k 2 k r 0时才成立，
a c
b d
0
有 a b c d 0 .
又对 Aaa1211 aa1222P22，有
A a 1 1 E 1 1 a 1 2 E 1 2 a 2 1 E 2 1 a 2 2 E 2 2 ∴ E 11,E 12,E 21,E 22是 P 2 2 的一组基，P 2 2 是4维的．
6.3 维数 基 坐标
6.3 维数 基 坐标
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x a n 1 x n 1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0,a1, ,an1)
6.3 维数 基 坐标
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f(x)P[x]n，按泰勒展开公式有 f(x ) f(a ) f(a )(x a ) f(n 1 )(a )(x a )n 1
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
6.3 维数 基 坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
6.3 维数 基 坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次， f ( x ) a 0 a 1 x a n 1 x n 1 P [ x ] n f ( x ) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
数1就是它的一组基.
6.3 维数 基 坐标
例5 求数域P上的线性空间 P 22 的维数和一组基．
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E 11,E 12,E 21,E 22是线性无关的．
事实上，由 a E 1 1 b E 1 2 c E 2 1 d E 2 2 0 ，即
注：
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
在基
E 11,E 12,E 21,E 22下的
坐标就是 (a11,a12,a21,a22).
一般地，数域P上的全体 mn矩阵构成的线性空间
P mn 为 mn维的，
矩阵单位
0
0
E ij
01 0
第 i行 i 1,2, ,m
j 1,2, ,n
0
0
就是 P mn 的一组基．
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
向量
1，x，x2，…，xn－1
6.3 维数 基 坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 注：零空间的维数定义为0.
故，V是n 维的，1,2, ,n就是V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；