地质勘探中，在A,B,C 三个地区采集了一些岩石，测量其部分化学成分，其数据见表3.5。
假定这三个地区掩饰的成分遵从()3,(1,2,3)(0.05)i i N i μα∑==（）。
（1）检验不全01231123:=:,,H H ∑=∑∑∑∑∑；不全等； （2）检验(1)(2)(1)(2)01::H H μμμμ=≠；；（3）检验(1)(2)(3)()()01::,i j H H i j μμμμμ==≠≠；存在使。
表3.5 岩石部分化学成分数据解： (1)检验假设01231123:=:,,H H ∑=∑∑∑∑∑；不全等，在H 0成立时，取近似检验统计量为2()f χ 统计量：()()*4=121ln d M d ξλ-=--。
由样本值计算三个总体的样本协方差阵：1(1)(1)(1)(1)11()()11111110.243081=0.642649.2855240.014060.020520.00452n S A X X X X n n ααα='==----⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∑()()，1(2)(2)(2)(2)23()()12211116.30461= 4.756710.672230.05570.23880.006675n S A X X X X n n ααα='==----⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭∑()()， 1(3)(3)(3)(3)33()()13311112.97141=0.63370.342140.00010.002950.001875n S A X X X Xn n ααα='==----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭∑()()。
进一步计算可得12310.0018318,0.0000942,0.0011851,0.0000417,10S A S S S ===== 24.52397,0.433333,12,M d f ===(1)=13.896916d M ξ=-。
对给定显著性水平=0.05α，利用软件SAS9.3进行检验时，首先计算p 值：p =P {ξ≥13.896916}=0.3073394。
因为p 值=0.3073394>0.05，故接收0H ，即认为方差阵之间无显著性差异。
proc iml ; n1=5;n2=4;n3=4; n=n1+n2+n3;k=3;p=3; x1={47.22 5.06 0.1, 47.45 4.35 0.15,47.526.850.12,47.864.190.17,47.317.570.18};x2={54.33 6.220.12,56.173.310.15,54.42.430.22,52.625.920.12};x3={43.1210.330.05,42.059.670.08,42.59.620.02,40.779.680.04};xx=x1//x2//x3; /*三组样本纵向拼接*/mm1=i(5)-j(5,5,1)/n1;mm2=i(4)-j(4,4,1)/n2;mm=i(n)-j(n,n,1)/n;a1=x1`*mm1*x1;print a1;a2=x2`*mm2*x2;print a2;a3=x3`*mm2*x3;print a3;tt=xx`*mm*xx;print tt;/*总离差阵*/a=a1+a2+a3;print a;/*组离差阵*/da=det(a/(n-k));/*合并样本协差阵*/da1=det(a1/(n1-1));/*每个总体的样本协差阵阵*/da2=det(a2/(n2-1));da3=det(a3/(n3-1));m=(n-k)*log(da)-(4*log(da1)+3*log(da2)+3*log(da3)); dd=(2*p*p+3*p-1)*(k+1)/(6*(p+1)*(n-k));df=p*(p+1)*(k-1)/2; /*卡方分布自由度*/kc=(1-dd)*m; /*统计量值*/print da da1 da2 da3 m dd df;p0=1-probchi(kc,df); /*显著性概率*/print kc p0;quit;(2) 提出假设(1)(2)(1)(2)01::H H μμμμ=≠，。
取检验统计量为2+1(3,6,9)(2)n m p F Tp n m n m --====+-，由样本值计算得：1=(47.472.5.604,0.144)=(54.38,4.47,0.1525)X X ''（）（2），，120.24308=0.642649.285520.014060.020520.004526.3046= 4.756710.67220.05570.23880.006675A A ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，，进一步计算得：211112(2)()'()()=60.666995D n m X X A A X X -=+--+-（）（2）（）（2），22134.81554,nm T D n m==+ 2132.098939(2)n m p F T n m p+--==+-。
对给定显著性水平=0.05α，利用软件SAS9.3进行检验时，首先计算p 值：p =P {F ≥32.098939}=0.0010831。
因为p 值=0.0010831<0.05，故否定0H ，即认为A ，B 两地岩石化学成分数据存在显著性差异。
在这种情况下，可能犯第一类错误，且犯第一类错误的概率为0.05。
SAS 程序及结果如下：proc iml ; n=5;m=4; p=3; x={ 47.22 5.06 0.1, 47.45 4.35 0.15, 47.52 6.85 0.12, 47.86 4.19 0.17, 47.31 7.57 0.18 } ;ln={[5] 1} ;x0=(ln*x)`/n; print x0; mx=i(n)-j(n,n,1)/n; a1=x`*mx*x; print a1; y={ 54.33 6.22 0.12, 56.17 3.31 0.15, 54.4 2.430.22,52.62 5.92 0.12} ;lm={[4] 1} ;y0=(lm*y)`/m; print y0; my=i(m)-j(m,m,1)/m; a2=y`*my*y; print a2; a=a1+a2; xy=x0-y0; ai=inv(a); print a ai; dd=xy*ai*xy`; d2=(m+n-2)*dd; t2=n*m*d2/(n+m) ;f=(n+m-1-p)*t2/((n+m-2)*p); fa=finv(0.95,p,m+n-p-1); beta=probf(f,p,m+n-p-1,t2); print d2 t2 f beta; pp=1-probf(f,p,m+n-p-1); print pp; quit ;(3) 检验假设(1)(2)(3)()()01::,i j H H i j μμμμμ==≠≠；存在使；因似然比统计量~(,,1)p n k k ΛΛ-- ，本题中k-1=2，可以利用Λ统计量与F 统计量的关系，去检验统计量为F 统计量：3,3,13),F k p n p Λ====Λ由样本值计算得：47.947696.5538460.11692=)3(,X '，，及(1)(2)(3)47.47254.3842.115.604 4.479.8250.1440.15250.047,,5X X X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 3(1)()(1)()123()()113(1)(1)()()11()()9.51908= 4.7656420.299820.069660.215330.01307=()()312.46343132.506284.9823082.5417077 1.5488460.0410769ttn t t t n t A A A A X X X XT X X X X αααααα===='=++=--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦'--⎡=--⎣∑∑∑∑⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦，进一步计算得：1.8318441=0.0160379114.21942A T Λ==，22134.81554,nm T D n m==+810.12664118.39023430.126641f -===。
对给定显著性水平=0.05α，利用软件SAS9.3进行检验时，首先计算p 值：p =P {F ≥18.390234}=2.3451×10-6。
因为p 值=2.3451×10-6<0.05，故否定0H ，即认为A ，B ，C 三地岩石化学成分数据存在显著性差异。
在这种情况下，可能犯第一类错误，且犯第一类错误的概率为0.05。
proc iml ; n1=5;n2=4;n3=4; n=n1+n2+n3;k=3;p=3; x1={47.22 5.06 0.1, 47.45 4.35 0.15, 47.52 6.85 0.12, 47.86 4.19 0.17,47.317.570.18};x2={54.33 6.220.12,56.173.310.15,54.42.430.22,52.625.920.12};x3={43.1210.330.05,42.059.670.08,42.59.620.02,40.779.680.04};xx=x1//x2//x3; /*三组样本纵向拼接*/ln={[5]1};lnn{[4]1};lnnn={[13]1};x10=(ln*x1)`/n1;x20=(lnn*x2)`/n2;x30=(lnn*x3)`/n3;xx0=(lnnn*x1)`/n1;mm1=i(5)-j(5,5,1)/n1;mm2=i(4)-j(4,4,1)/n2;mm=i(n)-j(n,n,1)/n;a1=x1`*mm1*x1;a2=x2`*mm2*x2;a3=x3`*mm2*x3;tt=xx`*mm*xx;print tt;/*总离差阵*/a=a1+a2+a3; print a;/*组离差阵*/da=det(a);/*合并样本协差阵*/dt=det(tt);a0=da/dt;print da dt a0;b=sqrt(a0); print b;f=(n-k-p+1)*(1-b)/(b*p);df1=2*p;df2=2*(n-k-p+1);p0=1-probf(f,df1,df2); /*显著性概率*/print f p0;f1=(tt[1,1]-a[1,1])*(n-k)/((k-1)*a[1,1]); p1=1-probf(f1,k-1,n-k);fa=finv(0.95,k-1,n-k);print fa f1 p1;quit;。