P
F
P
k(x
st
)
kx
x
恢复力：物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成正比且 与偏离方向相反的合力
当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础
单自由度系统的自由振动
m
d2x dt 2
kx
只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
令
02
k m
，则
d2 dt
x
2
02
x
0
无阻尼自由振动微分方程的标准形式。二阶齐次线性常系 数微分方程，其通解为
重物的运动方程为 x 0.0127sin19.63t
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单自由度系统的自由振动
（2）钢丝绳承受的最大张力。 取重物为研究对象 k
x 0.0127sin19.63t
P FT mx mA02 sin 0t 静平衡位置 m FT
FT P mA02 sin 0t
25m 时，钢丝绳上端突然被卡住。
求：（1）重物的振动规律；
（2）钢丝绳承受的最大张力。
m
l
解：（1）重物的振动规律 钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧质量系统，弹簧的刚度为
k EA 2.312106 N/m l
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单自由度系统的自由振动
设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置
理论力学
连续体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动 受迫振动： 无阻尼的受迫振动 有阻尼的受迫振动 自激振动
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和受迫振动。
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机械振动基础
第十五章 机械振动基础
单自由度系统的自由振动 计算固有频率的能量法 单自由度系统的有阻尼自由振动 单自由度系统的无阻尼受迫振动 单自由度系统的有阻尼受迫振动 转子的临界转速 隔振
振幅A和初相角 —两个待定常数由运动的初始条件确定。
t 0时，x x0 , v v0
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单自由度系统的自由振动
x Asin(0t )
v
dx dt
A0
cos(0t
)
t 0时，x x0 ,
x0 Asin , v0 A0 cos
v v0
理论力学
固定端
EI
解：此无重弹性梁相当
于一个弹簧，其静挠度相
l
当于弹簧的静伸长，则梁 固定端
的刚度系数为
l
m
O st
x
理论力学
mg 3EI
k
st
l3
st
Pl 3 3EI
mgl 3 3EI
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单自由度系统的自由振动
固定端
EI l
P=mg F
mO
st
x
分析物块运动到 任意位置(坐标为x)
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
理论力学
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利 用振动为人类服务。
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机械振动基础
4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
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理论力学
单自由度系统的自由振动
理论力学
1.自由振动微分方程
l0 —— 弹簧原长；
l0 k
l0
k —— 弹簧刚度系数；
st —— 弹簧的静变形； st
P k st st P / k
m
st
x
k F
O
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
P
m
d2x dt 2
x
O m
FT max P mA02 m(g A02 )
xP
88.2kN
理论力学
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单自由度系统的自由振动
例题15.2 均质等截面悬臂梁，长 度为 l，弯曲刚度为EI。梁的自由 端放置一质量为m的物块，其静
挠度为st。若不计梁的质量，物
块在梁未变形位置处无初速释放， 求系统的振动规律。
（1）固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 (t T ) 0t 2
周期 T 2 ; 则 0
0
2
1 T
2f
f 称为振动的频率，单位为1/s或Hz
0 称为圆频率（固有频率），表示每2秒内振动的次
数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
理论力学
当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础
为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为
坐标，则系统的振动方程为
k
m
d2x dt 2
mg
k ( st
x)
kx
方程的解为
静平衡位置 mO
x Asin(0t )
其中0
k 19.63s1 m
x
利用初始条件 t 0时, x0 0, v0 v
理论力学
求得 0; A v 0.0127m 0
A
x02
v02
02
,
tan 0 x0
v0
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单自由度系统的自由振动
理论力学
例 题 15.1 提升重物系统中，钢丝绳的横
截面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性模量E
＝200GPa。重物的质量m＝6000kg，以匀速
v ＝ 0.25m/s 下降。当重物下降到 l ＝ v
理论力学
x C1 cos0t C2 sin 0t C1, C2 积分常数
令 : A C12 C22 , tan C1 / C2
x Asin(0t )
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单自由度系统的自由振动
x Asin(0t ) 无阻尼自由振动是简谐振动
2. 无阻尼自由振动的特点
理论力学多媒体课件
时 间：2013、03械振动基础
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动 机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的 振动等。
1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。 2. 振动的利弊：
利：振动给料机
单自由度系统的自由振动
理论力学
02
k m
k P / st
m P/ g
0
g
st
只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。
（2）振幅与初相位
A——相对于振动中心O的最大位移，称为振幅。
0 t + ——决定了质点在某瞬时 t 的位置，称为相位。 ——决定质点运动的初始位置，称为初相角。
时的受力，有
x
m
d2x dt 2
mg
k(x
st
)
kx
设
02
k m
，则
d2 dt
x
2
02
x
0
上述振动微分方程的解为
理论力学