变化率与导数测试题Last revision on 21 December 2020
变化率与导数测试题
一、选择题：
1、函数y =x 2co sx 的导数为( ) A 、y ′=2xcosx －x 2sinx B 、y ′=2xcosx+x 2sinx C 、 y ′=x 2cosx －2xsinx D 、y ′=xcosx －x 2sinx
2设曲线1
1
x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ．12
C ．1
2
- D ．2-
3、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(11)，及邻近一点(11)x y +∆+∆，，则y
x
∆∆等于（ ） Ａ．4
Ｂ．42x +∆
Ｃ．4x +∆
Ｄ．24()x x ∆+∆ 4、曲线3
()
2f x x x
在0p 处的切线平行于直线41y
x ，则0p 点的坐标为（ ）
A.( 1 , 0 )
B.( 2 , 8 )
C.( 1 , 0 )或(－1, －4)
D.( 2 , 8 )和或(－1, －4)
5、已知32()(6)1f x x ax a x =++++，f '(x)=0有不等实根，则a 的取值范围为( ) A ．12a -<< B ．36a -<< C ．1a <-或2a > D ．3a <-或6a >
6、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2
C ．1
D ． 0
7、已知，12132431()cos ,()(),()(),()()
()(),n n f x x f x f x f x f x f x f x f x f x -''''=====则
2008()f x = （ ） A.
sin x B. sin x - C. cos x D. cos x - 8、32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ）
A ．319
B ．316
C ．313
D ．310
9、某汽车的路程函数是3221
2(10m/s )2
s t gt g =-=，则当2t s =时，汽车的加速度是（ ）
Ａ．14m/s 2
Ｂ．4m/s 2
Ｃ．10m/s 2 Ｄ．24m /s -
10、已知曲线3211473
2
y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216
sin 17
α=，则此切线的方程为（ ）
Ａ．470x y -+=或54606
x y --= Ｂ． 54606
x y --= Ｃ．470x y --=或54606x y --= Ｄ．470x y --=
11、若函数f(x)=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ' (x)的图象是（ ） 二、填空题：
12、与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是___________________
13、设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．
14、已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数f(x)的导数为零，f(-1)= 712
-，
则(2)f = ．
15、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =
16、若曲线32:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a 的值为 ． 17、已知sin (ππ)1cos x
y x x
=
∈-+，，，当2y '=时，x = ． 三、解答题：
18、已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都经过点(20)P ，，且在点P 处有公共切线，求()()f x g x ，的表达式．
19、已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,
⑴求P 0的坐标;
⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.
20、求下列函数的导数： （1）y=
x
x
x ln sin ； （2）y=x e tanx. 21、已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 22、设函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数，且函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为32y x =+． （Ⅰ）求,,a b c 的值；
（Ⅱ）若对任意(0,1]x ∈都有()k
f x x
≤
成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若对任意(0,3]x ∈都有|()|16f x mx -≤成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
一、 选择题ADBCD DADAC A
二、 填空题12．3x+y+2=0 13、2 14、5
3 15、a=41 16、1 17、2π
3
±
三.解答题：18、解：3()2f x x ax =+∵图象过点(20)P ，Ｐ，8a =-∴，3()28f x x x =-∴． 由于2()g x bx c =+图象过点(20)P ，，所以可得40b c +=．
又()2g x bx '=，(2)4(2)16g b f ''===，4b =∴，216()416c g x x =-=-，∴． 综上可知32()28()416f x x x g x x =-=-，． 19. 解：:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，
由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-,
∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l 的方程为1
4(1)4
y x +=-+即4170x y ++=.
20、(1)'
y =2
ln sin sin ln cos x
x x x x x x -+;(2)'y =x
e tanx+x e x 2cos . 21、解：设l 与1C 相切于点211()P x x ，与2C 相切于222((2))Q x x --，
． 对于1:2C y x '=，则与1C 相切于点P 的切线方程为21112()y x x x x -=-，即2112y x x x =-， 对于2:2(2)C y x '=--，则与2C 相切于点Q 的切线方程为2222(2)2(2)()y x x x x +-=---，
即2
22
2()4y x x x x =--+-． ∵两切线重合，1222(2)x x =--∴，且22
12
4x x -=-． 解得1202x x ==，或1220x x ==，．∴直线l 方程为0y =或44y x =-．
22、解：（Ⅰ）∵ 函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数，∴ ()()f x f x -=-
∵ 33()()()a x b x c ax bx c -+-+=-++∴ 0c =．
又()f x 在1x =处的切线方程为32y x =+，由2'()3f x ax b =+
∴ '(1)3f =，且(1)5f =， ∴ 335a b a b +=⎧⎨+=⎩得1
6a b =-⎧⎨=⎩
（Ⅱ）3()6f x x x =-+依题意36k
x x x
-+≤
对任意(0,1]x ∈恒成立， ∴ 426x x k -+≤对任意(0,1]x ∈恒成立，
即 22(3)9k x ≥--+对任意(0,1]x ∈恒成立，∴ 5k ≥．
（Ⅲ）解一：|()|16f x mx -≤，即16()16f x mx -≤-≤ ∴ 33616
616
x x mx x x mx ⎧-+-≤⎪⎨-+-≥-⎪⎩
即2
2166166
m x x m x x ⎧≥--+⎪⎪⎨⎪≤-++⎪⎩
对任意(0,3]x ∈恒成立，记216()6g x x x =--+，其中(0,3]x ∈
则 3
22162'()2(8)g x x x x x
=-+
=-- ∴ 当(0,2)x ∈时，'()0g x >，()g x 在(0,2)上单调递增，
当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 在(2,3)上单调递减，
∴ ()g x 在(0,3]上的最大值是(2)6g =-，则6m ≥-； 记216()6h x x x =-+
+，其中(0,3]x ∈则 216
'()20h x x x
=--< 所以 ()h x 在(0,3)上单调递减，
∴ 即()h x 在(0,3]上的最小值是7(3)3h =，则7
3
m ≤；
综合上可得所求实数m 的取值范围是7
63
m -≤≤．。