高中数学函数专题1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有),()()(2121x f x f x x f ⋅=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数证明：（1）2)]2([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =⋅=+=又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=⋅-≠∴≠,0)(0)]2([2>>∴x f x f 即（2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ∆-∆=∆-∆=∆-∆+='→∆→∆→∆1)(lim)()()()(lim )()(lim )(000 即)()()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '⋅=∆-∆='∴'=∆-∆→∆→∆0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数.2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42=为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。
（1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域；（2）求函数)(k f 的反函数)(1k f-；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。
（4）解不等式()()1,0121log 1≠>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a a x xf a 。
解：（1）()⎩⎨⎧+==142x k y x y ⎩⎨⎧>>-=∆⇒=+-⇒00161604422k k k y ky 10<<⇒k()0,1,21,222221F k k k y x k y y y p p p -=-==+= ()1011202)(222<<-=---=∴k k kkk k k f （2）()02141)(21>-+=-k k k k f （3）⎪⎭⎫⎝⎛∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg（4）4124121)(221+=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x a当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10<<a 时，4122-<a x ，显然，210≤<a 时，Φ∈x ；当121<<a 时，4102-<<a x 。
3．已知二次函数)(41)(2R t at b at t f ∈+-=有最大值且最大值为正实数，集合}0|{<-=xax x A ，集合}|{22b x x B <=. （1）求A 和B ； （2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ∉.设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。
)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A 的概率，写出a 与b 的三组值，使32)(=E P ，31)(=F P ，并分别写出所有满足上述条件的a （从大到小）、b （从小到大）依次构成的数列{n a }、{n b }的通项公式（不必证明）； （3）若函数)(t f 中，n a a =，n b b = （理）设1t 、2t 是方程0)(=t f 的两个根，判断||21t t -是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
（文）写出)(t f 的最大值)(n f ，并判断)(n f 是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵)()(412R t t b at t f a ∈+-=有最大值，∴0<a .配方得ab a b t a t f 4122)()(-+-=，由1041>⇒>-b ab .∴}0|{<<=x a x A ，}|{b x b x B <<-=。
（2）要使32)(=E P ，31)(=F P 。
可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个元素，B A 中有1个元素.则2,4=-=b a .②A 中有6个元素，B A -中有4个元素，B A 中有2个元素。
则3,7=-=b a .③A 中有9个元素,B A -中有6个元素,B A 中有3个元素.则4,10=-=b a .1,13+=--=n b n a n n . （3）（理）0)(=t f ，得01>-=∆n b .691169121221211224)(||)(++++-===-+=-=nnn n n n n a b t t t t t t n g ，∵692911=⋅≥+nn n n ，当且仅当31=n 时等号成立. ∴)(n g 在N 上单调递增。
41max 21)1(||==-g t t .又0)(lim =∞→n g n ，故没有最小值。
（文）∵nnn n n a b n g 412141241)(++-===单调递增，∴41min )1()(==f n f ，又121)(lim =∞→n f n ，∴没有最大值。
4．已知函数11log )(--=x mxx f a是奇函数)1,0(≠>a a 。
(1)求m 的值； （2）判断）（x f 在区间),1(+∞上的单调性并加以证明；（3）当)2,(,1-∈>a r x a 时，)(x f 的值域是),1(+∞，求r a 与的值. 解:（1）m=－1（2）由（1），).1,0(11log )(≠>-+=a a x x x f a任取11)(,11)(,11)(,),,1(2221112121-+=-+=-+=<+∞∈⋅x x x t x x x t x x x t x x x x 则令设，)1)(1()(21111)()(2112221121---=-+--+=-∴x x x x x x x x x t x t . ,,1,12121x x x x <>> ,0,01,011221>->->-∴x x x x 1111),()(221121-+>-+>∴x x x x x t x t 即.),1()(,11log 11log ,12211+∞-+>-+>∴在时当x f x x x x a a a 上是减函数；当0<a <1时，),1()(+∞在x f 上是增函数.（2）当a >1时，要使)(x f 的值域是),1(+∞，则111log >-+x x a ，011)1(,11>-++->-+∴x a x a a x x 即而a >1，∴上式化为0111<--+-x a a x ① 又),121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a ∴当x >1时，0)(>x f .当0)(,1<-<x f x 时.因而，欲使)(x f 的值域是),1(+∞，必须1>x ，所以对不等式①，当且仅当111-+<<a a x 时成立.32,1,1,1121+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+=-=∴a r a a a a r 得解之.5．|AB|=|x B -x A |表示数轴上A 、B 两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。
这样，可以将满足下列三个条件的一个x 与y 间的运算p(x,y)叫做x,y 之间的距离：条件一，非负性p(x,y)≥0，等号成立当且仅当x=y ；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z). 试确定运算s(x,y)=||1||y x y x -+-是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。
解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可s(x,y)=||1||y x y x -+-≥0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足s(x,y)=||1||y x y x -+-=||1||x y x y -+-=s(y,x) ，第二条也满足s(x,z)=||1||z x z x -+-∵函数f(x)=x x +1=1-x+11(或111+x)在x>0上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|(8分）∴s(x,z)≤||||1||||z y y x z y y x -+-+-+-=||||1||z y y x y x -+-+-+||||1||z y y x z y -+-+-≤||1||y x y x -+-+||1||z y z y -+-=s(x,y)+s(y,z) （10分） 总之，s(x,y)是距离6．已知曲线轴与y d cx bx ax y L +++=23:相交于点A ，以其上一动点P （x 0,y 0）为切点的直线l 与y 轴相交于Q 点.（Ⅰ）求直线l 的方程，并用x 0表示Q 点的坐标； （Ⅱ）求.sin sin lim0AQPAPQx ∠∠+∞→(Ⅰ）解：c bx ax k c bx ax y d A ++=++='020223,23),,0(0002000200))(23(0),)(23(y x c bx ax y x x x c bx ax y y Q +-++==-++=-∴得令)))(23(,0(00020y x c bx ax Q +-++∴（Ⅱ）由正弦定理得：03232000000222322000000320023220000sin sin ()()sin |2|limlim 2sin ||()x x APQ AQ AQP AP x y d x ax bx cx APQ a AQP a x ax bx cx →+∞∠===∠+-+++∠∴===∠+++7．设a 、b 为常数，F x b x a x f x f M };sin cos )(|)({+==：把平面上任意一点（a ，b ）映射为函数.sin cos x b x a +（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当M x f ∈)(0时，M t x f x f ∈+=)()(01，这里t 为常数；（3）对于属于M 的一个固定值)(0x f ，得}),({01R t t x f M ∈+=，在映射F 的作用下，M 1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？ 答案：（1）假设有两个不同的点（a ，b ），（c ，d ）对应同一函数，即x b x a b a F sin cos ),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同，即x d x c x b x a sin cos sin cos +=+对一切实数x 均成立。