北京市第五中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设函数()f x 1x=，则导函数()f x '等于（ ） A ．﹣xB ．21x- C ．1x -D ．1-2．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（ ）A ．1516B ．316 C ．152 D ．1543．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为 6.517.5y x =+，则t 的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．704．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（ ）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 5．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6．已知随机变量ξ服从二项分布14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==（ ）．A ．3281B ．1681C ．2481D ．8817．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-，则0a =（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．﹣328．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布()110,100N ，则分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+= ， (33)0.9974P X μσμσ-<<+=）A ．1140B ．1075C ．2280D ．21509．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( ) A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的 C ．恰有2个是好的 D ．至多有2个是坏的10．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种二、填空题 11．函数ln ()xf x x=的极大值是_________________. 12．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是________13．一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ=___________．14．若函数()ln f x x kx =-在区间[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是_______ 15．已知函数||()cos x f x e x π-=+，下列命题： ①()f x 为偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在(10,10)-内的零点个数为18； ④()f x 的任何一个极大值都大于1． 其中所有正确命题的序号是_____．三、解答题16．已知函数2()2ln f x x x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)求证：当2x >时，()34f x x >-.17．据中国日报网报道：2021年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单位是MIPS ）设,i i a b 分别表示第i 次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记i i iX a b =-(1,2,,12)i =⋯（Ⅰ）求数据12312,,,,X X X X ⋯的众数；（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （Ⅲ）点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上，若//MN 平面11A ACC ，求11A NA B的值．19．已知椭圆W ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =，其右顶点A （2，0），直线l 过点B （1，0）且与椭圆交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）判断点A 与以CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 20．已知函数()212ln 2f x a x ax x a R ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．21．设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n =1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,nc n>M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.参考答案1．B 【分析】直接利用基本函数的求导公式，即可求出结果． 【详解】 解：函数1()f x x =，则导函数21()f x x'=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查基本函数的求导公式，属于基础题． 2．A 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为123161()2rr r r T C x -+=⋅⋅，令1230r -=，解得：4r =，∴二项式的展开式中的常数项为446115()216C =. 故选：A ． 【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题． 3．C 【解析】分析：由题意，求得这组熟记的样本中心(,)x y ，将样本中心点代入回归直线的方程，即可求解答案.详解：由题意，根据表中的数据可得2456855x ++++==，3040507019055t ty +++++==，把(,)x y 代入回归直线的方程，得190 6.5517.55t+=⨯+，解得60t =，故选C. 点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征——回归直线方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【分析】根据题意可求出成绩优秀的学生数是2105307⨯=，所以成绩非优秀的学生数是1053075-=，即可求出,b c 的值，判断出,A B 的真假，再根据列联表求出K 2，即可由独立性检验的基本思想判断出,C D 的真假． 【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是2105307⨯=，成绩非优秀的学生数是1053075-=，所以c ＝20，b ＝45，选项A ，B 错误；根据列联表中的数据，得到2K＝2105(10302045)55503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题． 5．C 【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断. 详解：根据()()0,0f x f x ''><，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负， 由导函数()y f x '=的图象，可得的函数()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增，其中3x =-的左边负右边正，所以3x =-为函数的一个极小值点，且(3,1)-上函数单调递增，所以①④是正确的；其中1x =的左右两侧都是正数，所以1x =不是函数的极值点，所以②是错误的； 由()10f >可得函数在0x =处的切线的斜率大于零，所以③错误的， 故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力.【解析】14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为13，则31341228(3)4338181P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选D ．7．A 【分析】令5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-中的1x =得0a 值． 【详解】解：因为5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-， 所以令1x =得：50232a ==. 故选：A ． 【点睛】本题考查二项展开式的系数问题，通过赋值法求出系数和是解题的关键． 8．C 【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果. 【详解】由题意得=110=10(1102011020)0.9544P X μσ∴-<<+=，， 因此1(110130)0.95440.47722P X <<=⨯=， 所以(130150)0.50.47720.0228P X <<=-=，即分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为40.02281010=2280⨯⨯，选C. 【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9．C【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.10．B【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 11．1e【分析】求出导函数，然后利用导函数等于0，找到极值点，通过判断得到极大值． 【详解】 由ln ()x f x x= 得()/21ln x f x x -=， 令()/21ln =0xfx x-=，解得x e =， 易当0x e <≤时，()/0f x >，()f x 单调递增，当x e >时，()/0fx <，()f x 单调递减，所以当x e =时，()f x 取极大值，得()ln 1e f e e e==， 所以()f x 的极大值为1e． 【点睛】本题考查极值的求解，首先根据导函数等于零找到极值点，然后利用单调性判断确定为极大值或极小值． 12．47【分析】先计算()P A ， ()P AB ，然后根据条件概率的定义，可得结果. 【详解】由题可知：()()5545=,88714P A P AB ⨯==⨯ 所以()()()47P AB P B A P A ==故答案为：47本题考查条件概率，掌握条件概率公式()()()P AB P B A P A =，审清题意，简单计算，属基础题. 13．1.89 【分析】由题意可知0,1,2ξ=，再分别求对应的概率，根据公式求数学期望. 【详解】由题意可知0,1,2ξ=当1ξ=表示第一次没有击中，第二次射击中靶，()10.10.90.09P ξ==⨯= 当2ξ=表示第一次射击中靶，()20.9P ξ==,当0ξ=表示前两次都没有击中，第三次可中可不中，()00.10.10.01P ξ==⨯= 则00.0110.0920.9 1.89E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1.89 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是弄清楚变量表示的随机事件，并正确写出概率. 14．[)1,+∞ 【分析】首先根据题意得到[)1,x ∈+∞，max1⎛⎫≥ ⎪⎝⎭k x ，再根据1y x =的单调性即可得到答案. 【详解】()1f x k x'=-，因为函数()ln f x x kx =-在区间[)1,+∞上单调递减， 所以[)1,x ∈+∞，10-≤k x 恒成立，即[)1,x ∈+∞，max1⎛⎫≥ ⎪⎝⎭k x .又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1k故答案为：[)1,+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题. 15．①②④ 【分析】由于函数||()cos x f x e x π-=+，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性、最值、对称性和极值，从而可判断命题的真假． 【详解】对于①，函数||()cos x f x e x π-=+，定义域为R ，且满足()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，故①正确；对于②，因为01x e -<≤，1cos 1x π-≤≤，所以()2f x ≤， 又因为()02f =，即当0x =时，()f x 取得最大值为2，故②正确； 对于③，令||||()cos 0,cos x x f x e x x e ππ-=+==-， 设||()cos ,(),(),()x g x x h x e h x g x π==-均为偶函数， 画出(),()g x h x 在()0,10的图象，而()g x 周期为2， 在函数()g x 每个周期中(),()g x h x 有两个零点， 所以(),()g x h x 在()0,10内有10个零点， 而(),()g x h x 交点关于y 轴对称，所以()f x 在(10,10)-内的零点个数为20，所以③错误；对于④，由于()f x 是偶函数，则只需考虑0x >的情况， 此时()cos xf x ex π-=+，则()sin x f x e x ππ-'=--，由xy e -=-和()sin g x x ππ=的图象可知，在每一个区间()22,2k k k N *-∈上，0fx时，有2个解212,k k x x -，且当()212,,k k x x x k N *-∈∈时，0fx ，则()f x 单调递增， 当()221,,k k x x x k N *+∈∈时，0fx，则()f x 单调递减，而2212k k x k x +<<，所以()f x 得极大值为()()22211kk f x f k e ->=+>，所以()f x 的任何一个极大值都大于1，故④正确. 综上知，正确的命题序号是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，涉及函数的奇偶性、最值、对称性、极值和零点，也考查了推理与判断能力，是中档题．16．(1)f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析. 【分析】(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间； (Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可. 【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-，由f ′(x )>0， 得x>1; 由f ′(x )<0， 得0<x<1∴f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)． (2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4， ∴g ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， ∵当x >2时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x >2时， x 2-2lnx>3x-4, 即当x >2时()34f x x >-.. 【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用． 17．（Ⅰ）4 ；（Ⅱ）23；（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 【详解】试题分析：（1）将自变量的取值情况写出来，根据众数的概念可得结果；（2）将题目中满足从满足4i X =的测试中随机抽取两次的事件次数数出来，满足品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的次数数出来，两个数据作比即可；（3）可以从题目中的条件中，从多个角度下结论，只要解释的有道理均可得分． 解析：所以i X 等于1有2次，i X =2有3次，i X =4有4次，i X =6有2次，i X =7有1次， 则数据12312,,...X X X X 的众数为4（Ⅱ）设事件D =“品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果”.满足4i X =的测试共有4次，其中品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M ，N 表示.品牌A 的测试结果小于品牌B 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P ，Q 表示.从中随机抽取两次，共有MN ,MP ,MQ ,NP ,NQ ,PQ 六种情况，其中事件D 发生，指的是MP ,MQ ,NP ,NQ 四种情况.故()4263P D ==. （Ⅲ）可能出现的作答情况举例：结论一：，品牌B 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A 的测试有两次打开速度比品牌B 快(数值小），品牌B 有四次比品牌A 快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A 有四次打开速度比品牌B 快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些理由如下：品牌A 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9212，品牌B 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9712，所以品牌A 打开文件速度快一些.（且品牌A 方差较小）18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60°；（Ⅲ）23．（Ⅰ）推导出11BC B C ⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，从而11A B ⊥平面11BCC B ，进而111A B BC ⊥，由此能证明1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒；（Ⅲ）求出平面11ACC A 的法向量，由//MN 平面11A ACC ，利用向量法能求出11A NA B的值．【详解】 解：（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．11BC B C ∴⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，1111BB B C B =，11A B ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ．（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 1(0B ，0，2)，(2C ，0，0)，1(0A ，2，2)，(0B ，0，0)，1(2B C →=，0，2)-，1(0A B →=，2-，2)-，设异面直线1B C 与1A B 所成角为θ， 则1111||1cos 288||||B C A B B C A B θ→→→→===，60θ∴=︒． ∴异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒．（Ⅲ）解：(0A ，2，0)，(2C ，0，0)，1(2C ，0，2)， (0B ，0，0)，1(0B ，0，2)，1(0A ，2，2)，(2CA →=-，2，0)，1(0CC →=，0，2)，设平面11ACC A 的法向量(n x →=，y ，)z ，则1·220·20n CA x y n CC z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n →=，1，0)，点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上， 设(M a ，b ，)c ，(N x ，y ，)z ，11A NA Bλ=， 则113BC B M →→=，11A N A B λ→→=，01λ，即(2，0，2)3(a -=，b ，2)c -，(x ，2y -，2)(0z λ-=，2-，2)-，解得2(3M ，0，4)3，(0N ，22λ-，22)λ-，2(3MN →=-，22λ-，22)3λ-， //MN 平面11A ACC ，∴22203n MN λ→→=-+-=，解得：23λ=． ∴11A N A B 的值为23．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和利用空间向量法求异面直线所成角，以及根据线面平行求两线段的比值，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理证明能力和转化思想．19．（Ⅰ）223144xy +=；（Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上 【解析】 【分析】（Ⅰ）由离心率和,,a b c 的关系解出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设C 坐标为()11,x y ，D 坐标为()22,x y ；分别在l 斜率不存在和斜率存在两种情况下假设直线方程，与椭圆方程联立；只要证明出0AC AD ⋅=即可得出点A 在以CD 为直径的圆上． 【详解】（Ⅰ）由题意可知：2a =，3c e a ==c ∴=，22284433b a c =-=-= ∴椭圆的方程为223144x y += （Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上． 设C 坐标为()11,x y ，D 坐标为()22,x y ①当直线l 斜率不存在时，则l 的方程为1x =由22134x x y =⎧⎨+=⎩得 11x y =⎧⎨=±⎩ 不妨设()1,1C ，()1,1D - ()()1,1,1,1AC AD -∴=-=-0AC AD =∴⋅，即AC AD ⊥∴点A 在以CD 为直径的圆上②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-由()22134y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2222136340k x k x k +-+-= 212221226133413k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩()()11222,,2,AC x y AD x y =-∴=-()()()()()()212121212222211AC AD x x y y x x k x x ⋅=--+---=+-∴ ()()212121212241x x x x k x x x x =-+++-++⎡⎤⎣⎦22222222234634624113131313k k k k k k k k k ⎛⎫--=-⋅++-+ ⎪++++⎝⎭22223301313k k k k-=+=++ 0AC AD =∴⋅．即AC AD ⊥∴点A 在以CD 为直径的圆上综上，点A 在以CD 为直径的圆上． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法，关键是能够利用韦达定理表示出向量的数量积，从而通过整理运算求得结果，属于中档题． 20．（Ⅰ）32y =-；（Ⅱ）分类讨论，详见解析． 【分析】（Ⅰ）先由题设条件求得()f x '，再由导数的几何意义求得()f x 在1x =处的切线的斜率k f ='（1），进而求得切线方程；（Ⅱ）先求导，再对a 分成：①'当12a 时；②'当1(,1)2a ∈时；③'当1a =时；④'当1a >时；进行讨论，得出结果． 【详解】 （Ⅰ）已知函数21()()2,2f x a x ax lnx a R =--+∈，则()f x 的定义域为：()0,∞+， 1()(21)2f x a x a x∴'=--+， 则f '（1）0=，又f （1）32=-， ()f x ∴在1x =处的切线方程为3()02y --=，即32y =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21(21)21[(21)1](1)()(21)2a x ax a x x f x a x a x x x--+---'=--+==，∴①当12a =时，1()xf x x -'=，此时()f x 在(0,1)x ∈时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减；②当1a =时，2(1)()0x f x x-'=，此时()f x 在(0,)x ∈+∞时单调递增； ③当1a >时，令()0f x '=，有121x a =-，或1x =， 此时()f x 在1(0,)21a -与(1,)+∞时单调递增，在1(,1)21x a ∈-单调递减； ④当1(,1)2a ∈时，()f x 在(0,1)与1(21a -，)+∞时单调递增，在[1x ∈，1]21a -时单调递减； ⑤当12a <时，()f x 在(0,1)时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减； 综上可知： 当12a 时，()f x 在(0,1)时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减； 当1(,1)2a ∈时，()f x 在(0,1)与1(21a -，)+∞时单调递增，在[1x ∈，1]21a -时单调递减； 当1a =时，2(1)()0x f x x -'=，此时()f x 在(0,)x ∈+∞时单调递增； 当1a >时，()f x 在1(0,)21a -与(1,)+∞时单调递增，在1(,1)21x a ∈-单调递减． 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程和利用导数研究函数单调性，考查分类讨论思想和计算能力．21． (Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)读懂新定义{c n }的含义,即可求得{c n }的通项公式;(Ⅱ)结合新定义,通过对d 1的分类讨论,进而证明.试题解析：(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=2-.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n <0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n =1-n .所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1, 所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则 b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n=b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n =()()11212111211,,,.b a n n d nd d nd b a n d nd ⎧-+-->⎨-≤⎩当时当时 ①当d 1>0时,取正整数m >21d d ,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n . 此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1). 此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n >21d d 时,有nd 1<d 2. 所以()()11211n b a n n d nd c n n-+--= =n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+12b d n - ≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m >max{121121M b d a d d d +-+---,21d d }, 故当n ≥m 时,n c n >M .。