1 s
1 s 1
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
s 2max ——香农（Shannon）采样定理
如果 ωs <2ωmax ，不能满足采样定理，发生相 邻部分频谱重叠的现象，即使通过理想滤波器， 也难以准确的恢复原来的连续信号。
最后求得相应采样函数的脉冲序列
［例7-8］求 F(z) z
的反变换
(z1)(z2)
解：
F (z)(z 1 )z (z 2 )z2 3 zz 2 1 3 z z1 1 2 z 2
进行长除得到
F ( z ) 0 z 1 3 z 2 7 z 3 1 5 z 4 3 1 z 5 6 3 z 6
三、 保持器
1、 零阶保持器
把 前 一 个 采 样 时 刻 nT 的采样值不增不减的保持 到 下 一 个 采 样 时 刻 （ n+1 ） T的保持器称为零阶保持 器。其输入信号与输出信 号之间的关系如图所示。
采样值经过保持器即不 放大，也不衰减，保存一 个采样周期T。
单位脉冲响应如图所示 零阶保持器脉冲响应可表示为
f * ( t ) ( t T ) 3 ( t 2 T ) 7 ( t 3 T ) 1 5 ( t 4 T )
2、部分分式法
【例7-9】求 F(z) 0.5z 的z反变换
(z1)(z0.5)
解 将 F（z）/z 展开成部分分式为
F(z) 1 1 z z1 z0.5
所以
F(z) z z
7.2 z变换与反变换
一、z 变换的定义
z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采 样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号 f ( t )经过 采样开关，变成采样信号 f * (t )
F(s)L[f(t)]f(t)estdt 0
L[f*(t)]F*(s) f(nT)enTs n0 将 F*(s)记 作 F (z)
Zr(kTnT)znR(z)kn10r(kT)zk
Z eakTr(kT) R(zeaT)
limr(kT)limR(z)
k 0
z
lim r(kT)lim (1z1)R (z)
k
z 1
例7-0：设Z变换函数为
E(z)(z1)(z20 .0 7.9421z62z0.208)
试用终值定理确定终值
解：由终值定理得
【例7-3】已知 F(s) 1 ，试求其z变换
s(s a)
解 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1(1 1 ) s(sa) a s sa
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1[1eat ] a
F (z) 1 a [zz 1 z z e a T] a [z2 (z 1 ( 1 e e a T a ) T z ) e a T ]
离散控制系统
离散控制系统概述
以常规的炉温系统为例
由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢， 当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开 度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动 机反过来旋转。
根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样 引起炉温震荡。
采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个 采样开关，它周期性的闭合和断开。
令 z eTs L[f*(t)]F(z)＝f(nT)zn n0
和差
乘常数
变 换 相 时位移 关 定 复变换 理
初值定理
终值定理
Z r 1 ( k T ) r 2 ( k T ) R 1 ( z ) R 2 ( z )
Z a r (k T ) a Z r (k T ) a R (z )
Zr(kTnT)znR(z)
式中 r（nT）——输入量； c（nT）——输出量
各阶差分的变换函数
Zr(kn)znR(z)kn 1 0r(k)zk
例如
Z y (k 1 ) z Y z 3 z y 0
Z y ( k 2 ) z 2 Y z z 2 y 0 z y 1
【例7-16】用z变换法求二阶差分方程 y ( k 2 ) 3 y ( k 1 ) 2 y ( k ) r ( k )
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
7.1 信号的采样与复现
【例7-11】设在前图中 G1(s)
求系统的脉冲传递函数。
s
1
a
G2 (s)
s
1
b
图（a）G(z)Z[G1(s)G2(s)]Z[s1as1b]
b1a[zzeaT zzebT](ba)z((zeaeTaTe)(bzT)ebT)
图（b）
1
1
G(z)
G1(z)G2(z)
Z[ ]•Z[ ] sa sb
k阶后向差分 ky (n T ) y k 1 (n T ) y k 1 [(n 1 ) T ]
2. 差分方程
若方程的变量除了含有 f ( k )本身外，还有 f ( k ) 的 各阶差分，则此方程称为差分方程。
k阶线形差分方程的一般形式为
c [(n k )T ] a k 1 c [(n k 1 )T ] a 1 c [(n 1 )T ] a 0 c (n T ) b m r [(n m )T ] b 1 r [(n 1 )T ] b 0 r (n T ),(m k )
初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数 解 利用超前定理，对差分方程进行z变换，得 z 2 Y ( z ) z 2 y ( 0 ) z y ( 1 ) 3 [ z Y ( z ) z y ( 0 ) ] 2 Y ( z ) R ( z )
将已知条件代入上式，得
所以
(z23z2)Y(z) z zz2 z1 z1
gh(t)1(t)1(tT)
零阶保持器的传递函数为
Gh
(s)
1 eTs s
令s=jω，可以求得零阶保持器的频率特性为
G h(j
)1ejT2ej 2 T(ej 2 Tej 2 T)Tsin(2 T)ej 2 T
j
2j
T
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 幅频特性
sin(T )
Gh ( j ) T
2
T
2
相频特性
Gh(
j)
T
2
四、反变换方法 1、长除法
即把式 F ( z ) 展开成按升幂排列的幂级数。因 为式 F ( z ) 的形式通常是两个的多项式之比，即
F(z)b a m nzzm n a bm n 1 1zzn m 11 a b 0 0 (nm )
对上式用分母去除分子，所得之商按 z 1 的升幂排列
F (z ) c 0 c 1 z 1 c 2 z 2 c kz kc k z k k 0
z1 z0.5
则对应函数为 f(kT)10.5k
五、用z变换法解差分方程
离散系统的动态过程用建立在差分、差商等概念 基础上的差分方程来描述。
1.差分的概念
差分与连续函数的微分相对应。分为前向差分和 后向差分 一阶前向差分 y (n T ) y [ (n 1 ) T ] y (n T )
k阶前向差分 ky (n T ) y k 1 [(n 1 ) T ] y k 1 (n T ) 一阶后向差分 y (n T ) y (n T ) y [ (n 1 ) T ]
n 0
n 0
n 0
采样过程相当于一个
脉冲调制过程，其中输
入信号e（t）为被调制
信号，载波信号 T ( t ) 决
定采样时刻。即采样开
关输出信号 e * ( t ) 的幅
值由e（t）决定，存在 的时刻由 T ( t ) 决定。
二、 采样定理
E*(j)T1n E(sjns)
E*（jω）——采样信号e*（t）的频谱； E（jω）——连续信号e（t） 的频谱
F ( z ) 1 e a T z 1 e 2 a T z 2 e n a T z n
利用级数求和公式写成闭合形式，得
Z (e a T)F (z)＝ 1 e 1 a Tz 1z z e a T eaTz1 1
2、部分分式法
F (s)i n 1s A ipi z F (z)i n 1z A e iz piT
z zeaT
•
z zebT
z2 (zeaT)(zebT)
通过以上分析，可见G1（z）G2（z）≠G1G2（z）
［例7-12］试求下列开环系统的脉冲传递函数
r (t) r * (t) 1 eTs
s
c * (t )
1
c (t)
s(s 1)
G(z)
Z
1eTs
s
1 s(s 1)
(1 z1)Z
1 s2
f(nT)1(t)1 n=0、1、2、…
代入上式，得
F (z ) 1 1 * z 1 1 * z 2 1 * z n
对上式进行级数求和，写成闭合形式，得
Z[1(t)]F(z)11z1zz1
（|z|>1）
【例7-2】求 f (t) eat 的z 变换
解 因为 f(nT)eanT代入定义式中，得
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
Z 1 [F (z)]f*(t)f(n T )
或表示为 Z1F(z)f*(t)
z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不 反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求 出采样函数f*（t），不能求出连续函数f（t）。