昆明理工大学2012级硕士研究生试卷科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。

一、 填空题（每空2分，共40分）1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差限为 。

2．设133)(47+++=x x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。

3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2x L = ， 并计算=)0(2L 。

4．设32()3245f x x x x =+-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ，最佳二次平方逼近多项式为 。

5．高斯求积公式)()()(11010x f A x f A dx x f x +≈⎰的系数0A = ，1A = ，节点0x =，1x=。

6．方程组b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx xk k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，=Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。

7．00100A ⎤⎥⎥=⎢⎥⎢⎥，其条件数2()Cond A = 。

8．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。

9．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

10．对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。

二、计算题（每题10分，共50分）1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。

2. 若用复合梯形公式计算积分dx e x ⎰1，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021-⨯? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。

3. 线性方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。

（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ?4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算最小二乘法的误差。

5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022=+=y y x dx，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位）。

三、证明题（共10分）1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角阵。

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷答案一填空题（每空2分，共40分）1. 2 0.025或0.02162. 3 03. )2)(1(23-+-x x ，3 4. 2754x x -+ 2119255x x -+5. 0.28 0.39 0.29 0.826. U L D H U L D H S G J 11)(),(----=+=7. 18. | A ||1 = 3_，2316299||||2++=A9. 1()1'()k k k k k x f x x x f x +-=--10. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=153012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2400410321U二、计算题（每空10分，共50分）1．求一个次数不高于4次的多项式P (x ),使它满足:P (0) =0，P’(0) =0，P (1) =1，P’(1)=1，P (2) =1，并写出其余项表达式。

解：由题意 P (x ) = x 2(ax 2 + b x + c )，由插值条件得方程组1)24(412341=++=+++=++c b a c b a c b a 求解，得 a =1/4，b= – 3/2 ，c =9/4。

所以)492341()(22+-=x x x x P插值余项为)2()1()(!51)(22)5(--=x x x f x R ξ 2． 若用复合梯形公式计算积分dx e x ⎰1，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021-⨯？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。

解：由于xe xf =)(，则x e x f x f ==)()()4(''在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n 等分，则h=1/n., 故对复合梯形公式，要求≤--=|)(12|)(''2ηf h a b f R T 521021)1(121-⨯≤e n ，)1,0(∈η 即52106⨯≥en ，85.212≥n ，因此n=213，即将区间[0,1]分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过51021-⨯。

若用复合辛普森公式，则要求≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=|)(2180|)(()42ηf h a b f R S 5441021)1(21801-⨯≤⨯e n ，)1,0(∈η 4410144⨯≥en ，7066.3≥n ，因此n=4，即将区间[0,1]分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过51021-⨯。

=++=∑-=++1401214)]()(4)([6)(k k k k x f x f x f h h S 7125.1))()(4)()()(4)((65.0432210=+++++x f x f x f x f x f x f 3. 线性方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18.04.08.014.04.04.01A ，Tb ]3,2,1[=，（1）建立Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2）问Jacobi 迭代和Gausse-Seidel 迭代法都熟收敛吗？ 解：（1） Jacobi 迭代法的分量形式⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,2,1,0,)8.04.03()8.04.02()4.04.01()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。

Gauss-Seidel 迭代法的分量形式⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=--=++++++ ,2,1,0,)8.04.03()8.04.02()4.04.01()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。

(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=+=-08.04.08.004.04.04.00)(1U L D B J)32.08.0)(8.0(||2-+-=-λλλλJ B I10928203.1)(>=J B ρ，故Jacobi 迭代法不收敛。

Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--672.0032.0064.016.004.04.00)(1U L D B SG18.0)(<=-S G B ρ，故G-S 迭代法收敛。

4. 已知实验数据5,,2,1),,( =k y x k k ，如下表，用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算均方误差。

解：令x a a x S 101)(+=,10=ϕ,1x =ϕ 故51),(4000==∑=i ϕϕ15),(4010==∑=i i x ϕϕ15),(401==∑=i i x ϕϕ55),(4211==∑=i i x ϕϕ31),(400==∑=i i f f ϕ5.105),(41==∑=i i i f x f ϕ由法方程得线性方程组⎩⎨⎧=+=+5.1055515311551010a a a a 解得25.1,45.210==a a 于是所求拟合曲线为x x S 2429.17143.3)(1+=2-范数的误差0.8216 675.0))((||||2412==-=∑=i i i y x S δ5. 用改进的欧拉公式（预估-校正方法） 解初值问题0)0(,10022=+=y y x dxdy，h 为步长，（1）取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位）。

解：（1）由改进的欧拉公式⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++),(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 因为,1.0=h 00=y ，22100),(y x y x f += 所以2.0,1.0,0210===x x x=+=),(0001y x hf y y 0，),(),([2110001y x f y x f hy y ++==0.0005=+=),(1112y x hf y y 0.0015)],(),([2|221112.02y x f y x f hy y x ++===0.0030三、证明题（共10分）1、证明：如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角阵。

法一：因为A 对称正定，A 的所有顺序主子式不为零。

A 有唯一的Doolittle 分解U L A =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112222223111111311122211u a u a u a u a u a u u u U n n nn 0DU = D 为对角阵，0U 为单位上三角矩阵。

又因为A 是对角正定矩阵T A A DU L ==0=TTL D U 0由分解的唯一性TU L 0=，代入分解式子 T LDL A =又A 对称正定知道n i D D u D u i iii ,,2,0,1111 =>==- 2121221122112211D D u u u u u u u u u D nn nn nn =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=所以TTLL D L D L A ==)(2121，其中21D L 为对角元为正的下三角矩阵。