立几测001试一、选择题：1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ．19 Ｂ．2345 254．已知平面α⊥平面β，m 是α的一直线，n 是β的一直线，且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。

这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( )Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）( ) A.R π42 B. R 3π C. R 2π D. 3R7. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题(1)m l ⊥⇒βα// (2)m l //⇒⊥βα (3)βα⊥⇒m l // (4)βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是( )A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 60πα<< B.46παπ<< C.34παπ<< D.23παπ<<9．ABC ∆中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=︒，ABC ∆所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45︒的二面角的一个平面有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )Ａ．30︒ Ｂ．45︒ Ｃ．60︒ Ｄ．90︒11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF;③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )A. 24πcm 2B. 48πcm 2C. 144πcm 2D. 288πcm 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值是46，则AB 与β所成角大小为__________。

14. 如图在底面边长为2的正三棱锥V —ABC 中,E 是BC 中点,若△VAE 的面积是41,则侧棱VA 与底面所成角的大小为15．如图，已知矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，PA ⊥面ABCD 。

若在BC 上只有一个点Q 满足PQ QD ⊥，则a 的值等于______.16. 六棱锥P —ABCDEF 中，底面ABCDEF 是正六边形，PA ⊥底面ABCDEF ，给出下列四个命题①线段PC 的长是点P 到线段CD 的距离； ②异面直线PB 与EF 所成角是∠PBC ； ③线段AD 的长是直线CD 与平面PAF 的距离； ④∠PEA 是二面角P —DE —A 平面角。

其中所有真命题的序号是_______________。

三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）17．(本小题满分10分)如图，已知直棱柱111ABC A B C -中，1AA =M 是90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，1CC 的中点。

求证：11AB A M ⊥18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB =BC =沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到P 点，且P在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上。

（1）求证：PB ⊥面PAD ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求直线AB 与平面PBD 的成角的大小19．（本小题满分12分）如图,已知PA ⊥面,ABC AD BC ⊥,垂足D 在BC 的延长线上,且1BC CD DA ===(1) 记PD x =,BPC θ∠=,试把tan θ表示成x 的函数,并求其最大值.PA Q CDABC1B 1A 1C MA BCDB()P C O(2)在直线PA上是否存在点Q,使得BQC BAC∠>∠20. （本小题满分12分）正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。

求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值。

21. （本小题满分14分）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC的中点，（1）求证：AB1//平面C1BD;（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;（3）求直线AB1到平面C1BD的距离。

22. （本小题满分14分）已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上，∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.（1）证明平面BDE∥AO；（2）求二面角A-EB-D的大小；（3）求三棱锥O-AA1D体积.立测试001答案一．选择题：(每题5分,共60分)二．填空题：(每题4分,共16分)13. 60º 14. 41arctan15. 2 16. ①④ 三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）17．(10分)解：【法一】90ACB ∠=︒1111B C AC ⇒⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11B C ⊥面1A C ，连结1A C ，则1AC 是1AB 在面1A C 上的射影在四边形11AAC C 中，111111AA A C A C C M ==，且11112AAC AC M π∠=∠=， 1111AAC AC M ∴∆∆， 11AC A M ∴⊥ 11AB A M ∴⊥【法二】以11C B 为x 轴，11C A 为y 轴，1C C 为z 轴建立空间直角坐标系由1BC=，1AA =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，易得1A ，A ，M ，1(1,0,0)B1(1,AB ∴=，1(0,A M =1103(02AB A M ∴=++⨯= 11AB AM ⇒⊥ 所以11AB A M ⊥ 18．解：（1）P 在平面ABD 上的射影O 在AB 上，PO ∴⊥面ABD 。

故斜线BP 在平面ABD 上的射影为AB 。

又DA AB ⊥，DA BP ∴⊥，又BC CD ⊥，BP PD ∴⊥ AD PD D = BP ⇒⊥面PAD（2）过A 作AE PD ⊥，交PD 于E 。

BP ⊥面PAD ，BP AE ∴⊥，AE ∴⊥面BPD 故AE 的长就是点A 到平面BPD 的距离 AD AB ⊥，DA BC ⊥ AD ⇒⊥面ABP AD AP ∴⊥在Rt ABP ∆中，AP ==在Rt BPD ∆中，PD CD ==在Rt PAD ∆中，由面积关系，得32AP AD AE PD ===（3）连结BE ，AE ⊥面BPD ，BE ∴是AB 在平面BPD 的射影ABE ∴∠为直线AB 与平面BPD 所成的角在Rt AEB ∆中，sin AE ABE AB ∠== arcsin 3ABE ∴∠= 19．(1)PA ⊥面ABC ,,BD AD BC PD ⊥∴⊥,即90.PDB ∠=在Rt PDB ∆和Rt PDC ∆中,21tan ,tan BPD CPD x x∠=∠=, 221tan tan tan()2121x x x BPC BPD CPD x x xθ-∴=∠=∠-∠==++⋅(1x >)12x x≤=+当且仅当x =,tan θ取到最大值4.(2)在Rt ADB ∆和Rt DC ∆中,tan BAD∠=2,tan 1CAD ∠= 211tan tan()12134BAC BAD CAD -∴∠=∠-∠==<+⨯故在PA 存在点Q (如1AQ =)满足1tan 34BQC <∠≤,使BQC BAC ∠>∠ 20. (12分)解：（1）过V 点作V0⊥面ABC 于点0，VE ⊥AB 于点E ∵三棱锥V —ABC 是正三棱锥 ∴O 为△ABC 的中心 则OA=a a 332332=⨯，OE=a a 632331=⨯ 又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60° 则在Rt △VEO 中；V0=OE ·tan60°=2363aa =⨯ 在Rt △VAO 中，VA=6211273422222aa a a AO VO ==+=+ 即侧棱长为a 621（2）由（1）知∠VAO 即为侧棱与底面所成角，则tan ∠VAO=23332==a aAO VO 21 (12分)解：（1）连结BC 1交B 1C 于点E ，则E 为B 1C 的中点，并连结DE ∵D 为AC 中点 ∴DE ∥AB 1而DE ⊂面BC 1D ， AB 1⊂面BC 1D ∴AB 1∥面C 1BD（2）由（1）知AB 1∥DE ，则∠DEB 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角 由条件知B 1C=10， BC=8 则BB 1=6 ∵E 三棱柱中 AB 1=BC 1 ∴DE=5 又∵BD=34823=⨯ ∴在△BED 中 2515524825252cos 222=⨯⨯-+=•-+=∠DE BD BD DE BE BED故异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为251（3）由（1）知A 到平面BC 1D 的距离即为直线AB 1到平面BC 1D 的距离 设A 到平面BC 1D 的距离为h ，则由ABD C D BC A V V --=11得C C S h S ABD D BC 131311••=••∆∆即h=DBC ABDS CC S 11∆∆• 由正三棱柱性质得BD ⊥C 1D 则D C BD S DBC 1:211=∆ ∴131312522446642121221111==+⨯=•=•••=D C CC AD DC BD CC AD BD h 即直线AB 1到平面的距离为131312 22. (14分)证明： ①设F 为BE 与B 1C 的交点，G 为GE 中点 ∵AO ∥DF ∴AO ∥平面BDE②α=arctan 2-arctan22或arcsin1/3 ③用体积法V=31×21×6×h=1立几测试002一、选择题（12×5分）1．已知直线a 、b 和平面M ，则a//b 的一个必要不充分条件是（ ） A ．a//M, b//M B ．a ⊥M ，b ⊥MC ．a//M, b ⊂MD ．a 、b 与平面M 成等角2．正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）A ．23B ．63C ．43D ．33 3．a , b 是异面直线，A 、B ∈a , C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB=2，CD=1，则a 与b 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°4．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β的一条直线”． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．设l 1 、l 2为两条直线，a 、β为两个平面，给出下列四个命题：(1)若l 1α⊂, l 2β⊂，l 1∥β，l 1∥a 则a ∥β. (2)若l 1⊥a ，l 2⊥a ，则l 1∥l 2 (3)若l 1∥a ，l 1∥l 2，则l 2∥a (4)若a ⊥β，l 1α⊂，则l 1⊥β其中，正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．三棱柱111C B A ABC -中，侧面B B AA 11⊥底面ABC ，直线C A 1与底面成︒60角，2===CA BC AB ，B A AA 11=，则该棱柱的体积为（ ）A ．34B ．33C ．4D ．3 7．已知直线l ⊥面α，直线m ⊂面β，给出下列命题：（1）αβ//⇒⊥l m（2）αβ⊥⇒l m //（3）l m //⇒⊥αβ（4）l m ⊥⇒αβ//其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48．正三棱锥S ABC -的底面边长为a ，侧棱长为b ，那么经过底边AC 和BC 的中点且平行于侧棱SC 的截面EFGH 的面积为（ ） A. abB.ab2C.ab 4D.22ab 9．已知平面α、β、γ，直线l 、m ，且l m m l==⊥⊥βγαγγα ,,,，给出下列四个结论：①γβ⊥；②α⊥l ；③β⊥m ；④αβ⊥.则其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与支线AM 所成角的大小为（ ）A .45ºB .90ºC .60ºD .不能确定AB C A 1B 1C 1A 1D 1 MABCSEFG H11．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得点A 到点A ’的位置，且A ’C ＝1，则折起后二面角A ’－DC －B 的大小为（ ）A.22arctan B.4πC.arctanD. 3π 12. 正方体ABCD A B C D -1111，E 、F 分别是AA CC 11、的中点，P 是CC 1上的动点（包括端点），过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是（ ） A. 线段C F 1B. 线段CFC. 线段CF 和一点C 1D. 线段C F 1和一点C二、填空题（4×4分）13．矩形ABCD 的对角线AC ，BD 成60°角，把矩形所在的平面以AC 为折痕，折成一个直二面角D —AC —B ，连结BD ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 .14．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ，球的表面积为 π（不计损耗）.15. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小； ③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影是△ABD 的外心 ④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体。