多数数学认知活动虽然与特定的脑区相联 系，然而 每一种功能都有赖于不同脑区之间广泛分布的神经网络 互动。数学深度学习的结果， 一方面会加强相关脑区的 功能，使该脑区内部的神经连接畅通；另一方面会扩展 与其它脑区的联结。如进行加法运算时，不同的提问会 激活不同的脑区：当解答需要笼统的答案时，大脑最活 跃的部位是双侧顶叶；而当解答需要精确的答案时，大 脑活动主要发生在额叶部位。
2. 物质态：脑科学视角下的功能“寻根” 脑科学研究证明，学习本质上是神经元建立连接的过 程，这个过程是通过神经元放电形成电化学回路实现的， 期间伴随着神经递质的传递。
20 世纪 80 年代，神经科学家 Maclean[8]提出了 “三 脑一体”模型，即根据解剖生理学和脑部功能的不同 将脑分为三个部分：
认知脑主管思维，发展认知能力； 情绪脑通过情绪认知，提升人际交往能力； 行为脑通过行为习惯养成，提升个人的自我决策和执 行能力。
对数学深度学习的认识可从脑科学及其上层的认知科 学、学习科学和教 育科学等不同视角进行分析，如图所 示。
对数学深度学习的认识角度
结合“三脑一体”的模型，对于数学深度学习的分 析可从大脑功能层的认知、情绪和行为三个维度进行：
（2）情绪维度 研究表明，情绪通过影响注意、 记忆和决策能力而 影响认知效率，如在情绪性事件中，杏仁核通过调节海 马和前额叶活动，能影响记忆的编码阶段和巩固阶段， 从而产生长时记忆效应。
情绪在数学深度学习中有两个作 用： ①在动机上，感觉数学“有意思”，愿意“主动 学”，做题“专注”、“有钻劲”； ②在态度上， 将学习行为与自己的三观结合起来， 形成科学严谨的学习态度。数学学习强调的“合 作”“分享”和“文化”等理念，归根结底都与情绪有 密切的关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
①认知脑，指大脑 皮层，主要负责所
有的高级思维功能，包括阅读、计划、
分析、决定等；
②情绪脑，指大脑的 边缘系统，主要
参与情绪调节；
③行为脑，包括脑干、小脑和基底核， 主要控制人的行为
“三脑一体”模型归纳了 人类特定行为与特定脑结 构之间的联系，为全面认识学习提供了一个新的视角。
美国国家研究理事会（National Research Council， NRC）提出的深度学习框架涉及认知、 人际关系和个人发 展三个领域，恰好契合了“三脑一体”模型的观点：
数学深度学习与教学
——从脑科学的角度看
数学 思维的学科
传统数学学习的理论思辨往往停留在知识、认知 及文化等“意识”层次，呈现一定的“不确定性”和 “混 沌”状态。
而脑科学从“物质”角度揭示了数学学习的本质 是神经元的联结和神经网络的连接。
常见的疑惑
为什么要进行深度学习？ 数学深度学习“深”在何处？ 如何进行深度学习？搞
从认知的维度理解数学深度学习，能将某一思维状 态与特定脑区相联系，将思维过程与神经回路的连接相 联系，使思维“可视化”，从而实现对数学知识和学习 过程的深刻认识。
如大脑皮层形 成视知觉是两条神经路径作用的结果： “What 通路”能感受事物的大小、形状等属性信息， “Where 通路”能感受事物所处的空间位置。了解这一 知识，可以帮助学生从“属性”和“关 系”两方面深刻 把握数学概念：一是要明确其定义、性质，理解“是什 么”；二是要明确与其它 知识的关系，理解“从哪儿来” 和“到哪儿去”，从而形成知识网络。
四、脑科学指导下的数学深度教学
数学深度学习最终体现为个体思维的变化，故在数学 教学中，引导学生进行个性化学习尤为重要。数学个性 化教 学应以发展学生的认知结构为基础，一方面要引导 学生在反思中不断发展自己的认知结构，如 通过反思新 知，对原有认知结构进行拓展，通过练习后的反思对原 有认知结构进行丰富和重构； 另一方面要引导学生在错 误中修正认知结构，重新梳理认知结构中重要、关键的 “结点”，使之更加科学和合理。
④在评价管理阶段，借助言语表达或 自我暗示，实现 数学认知脑区与语言中枢的联结，辅助思维发展，并借 助前额叶皮层的控制功能， 加强元认知能力的培养，实 现学习的有效调控。
2.形式：传递神经递质 思维活动本质上是神经信号的传递过程。 学习动机是数学深度学习的重要因素，这是因为学习 动机形成与多巴胺有直接的关系，当个体选择或决定正 确时，大脑会释放更多的多巴胺，增强学习动机，提高 记忆力和注意力。 3 结果：建立畅通、广泛的神经联结 每种数学认知能力都与不同脑区相关，如数感能力主 要与顶叶有关，空间认知能力主要与背侧通路和腹侧通 路的相关脑区相关，归纳推理主要与前额叶相关。各相 关脑区相互支撑但 又各司其职，形成了支撑数学认知能 力的神经基础。
三、基于脑科学的数学深度学习框架 基于脑科学的数学学习应遵从联结、扩展、拓宽、加 深、贯通等原则，合理设计教学环节， 做到知、情、行 一致，以促进学生的深度学习，如图所示。
1.课前准备 学习是根据已有知识建构当前知识的过程。在课前准 备阶段，教师通过练习让学生回顾之前的相关内容，并对 学生的学习状况进行预评估；学生通过查缺补漏完善知识 体系，为新知识 的学习作好知识储备，提高学习新知识 的信心。 2.初步连接 初步连接是当前知识与已有知识初步建立联系的过程， 也可理解为“当前知识的神经元” 与“存储旧知识的神 经元”建立信息通道的过程。在这个环节中，教师要合理 设计学习活动，让学生通过同化或顺应，构建当前知识和 已有知识的关系，从而形成对当前知识的认知。
如学习了分数除法 的“求一份是多少”，要与单元内 部的“求几分之几”进行比较，以产生对分数除法的整体 认识， 还要与之前的整数除法和小数除法进行比较，以 加深对“数”的认识。“网络”接入使当前知识 与之前 更多的相关知识形成了联结，生成了更大面积的知识网络， 如此，学生方能用整体和系 统的观点理解当前知识，分 析问题时方能锁定目标，放眼全局，提高解决问题的效能。
一方面， 该层能与底层的大脑“硬件”层结合起来， 有助于从本质上认识深度学习“是什么”，明确深度 学 习的“终极目标”；
另一方面，从认知、情绪和行为三个维度分析数学深 度学习，能从认知科学、学习科学和教育科学层面解释 “为什么”的问题，从而更好地理解学与教的关系，解 决“怎么做”的问题。
（1）认知维度
①在激活旧知阶段，通过回顾或练习找出与新知识关 联的已有知识，明确当前知识在已有知识网络中的位置， 并通过适当练习，激活已有知识存储脑区，为新知编码 做好准备；
②在初步理解阶段，运用已有 经验建构当前知识，使 新旧知识所在脑区建立神经联结，获得成功体验；
③在深度加工阶段，通过综合训练、难题错题反思等 高阶思维活动对当前知识进行“内部关联”，找出关键 点，并将其作 为“结点”再次与已有知识连接，形成牢 固的“外部关联”；
一 、数学深度学习的理论思辨 1.意识论：社会学视角的理论解读 意识层面的研究者，关于深度学习的研究主要是从 知识、认知、管理和文化四个视角进行了分析，具体 而言： （1）知识的视角，深度学习的数学知识应具有充分 的广度、深度和关联度，即学生应联系生活理解学习 内容，应深刻理解知识的核心思想，应将新知识纳入 旧知识的网络中。
如计算能力与顶内沟区域的激活，几何术语与左侧顶 下小叶和颞下回后部的激活有关，其中顶叶是与数学认 知相关的优势区域。抽象、推理、建模和运算等与数学 深度学习相关的核如心计能算能力力，与顶都内沟是区在域的这激些活 脑区的广泛参与 下实现的。
基于数学认知的原理， Dehaene提出了三重编码理 论，Anderson提出并开发了 ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）模型，这些都归功于大脑研究成 果对认知过程进行的准确定位。
4.融会贯通 当前知识纳入已有的认知结构中后，并不能保证知识 的灵活提取。教师应为学生设计多层 次、多类型的复合 型练习，让学生通过持续的练习和反思，深刻理解当前 知识与已有知识的关 系，加深和拓宽当前知识与已有知 识之间的联络通道，并在此基础上灵活运用所学知识解 决问 题。表现在大脑物质层面，就是神经元的联结更加 密集，信息传递通路更加通畅，信息传递更 加高效。在 这个阶段，对当前知识的把握并不是目的，而要围绕当 前知识进行结构化认知和知 识管理，做到知、情、意、 行的协调统一，实现知识体系的有机重构和灵活运用。
二、 数学深度学习的脑机制 1. 过程：构筑神经通路
2008年，Jensen提出了“深度学习路线”（Deeper Learning Cycle，DELC）模型，为深度学习提供了具体 的操作程序。参考此模型，结合数学学习的流程和特点， 本研究认为基于脑科学的数学深度学习应遵循“激活旧 知—初步理解—深度加工—评价管理”的操作程序：
一方 面，要进一步明确和巩固已有相关知识，保证 连接的条件；另一方面，要引导学生在理解新知 识的基 础上，把握当前知识的重难点。在该阶段，适量的、不同 难度层次的练习是很有必要的。
3.“网络”接入 初步连接只是将当前知识与之前的个别条件性知识产 生关联，做到了“只见树木”，而要深入把握当前知识， 还需将其放到更大的知识网络中，以求得“森林”效果。
（3）管理的视角，有效管理为深度学习提供了支持 和保障，一方面要学 会管理知识，另一方面要学会管理 自己，如调整学习方法，纠正学习态度等；
（4）文化的视角，深度学习注重“以学生为本”和 “创设情境”，强调通过“互动”和“生成”让学生在 “边 缘性参与”中获得知识，在活动和协商中获得认同 感和价值体验。
从“意识”层面对深度学习的描述，虽然合理性虽 经过了实践检验，但仍具有较多的“想象”和“揣 度” 成分，呈现了一定的“不确定性”和“混沌”状态。从 而导致执教教师产生疑问，比如：
知识的广度、深度和关联度之间是什么关系？ 教学是按照科学的认知方法操作的，为什么有的孩子 总是出错？ 学生的自我管理是如何促进学习的？ 这些疑问，都有待通过数学 深度学习得到更直接明了 的解释。
（3）行为维度 前额叶皮层是大脑的“执行控制脑区”，它的作用 是协调小脑、基底核等行为脑区，从而控 制人的行为。 学习行为正是在它的控制下进行的脑区（或同一脑区的 不同部分）联结行为。