《1.3.1 函数的单调性与导数》教学案3一、教材分析以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。

在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。

根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。

二、教学目标1，知识目标：1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。

2，能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。

3，情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

三、教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性。

教学难点：利用导数判断函数单调性。

.四、教学方法：探究法五、课时安排：1课时六、教学过程【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。

问：1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的） （2）利用函数单调性的定义。

（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1）能画出函数的图象吗？（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。

尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易。

【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；（1） 学生自己画图研究探索。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5） 学生继续探索，得出初步规律。

几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。

（学生总结）：①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。

（验证）（1） 观察三次函数3y x =的图象；（几何画板演示） }都是反映函数随自变量的变化情况。

（2） 观察某个函数的图象。

（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。

这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。

【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。

（幻灯放映）一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。

若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。

严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。

这儿我们可以直接用这个结论。

小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。

结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。

下面举例说明：【例题讲解】例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。

由学生叙述过程老师板书：因为 '3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，所以 20x >，即'0y >， 所以函数31y x =+在(,0)-∞上是增函数。

注：我们知道31y x =+在R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。

学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。

例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x , 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数;当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1） 确定函数f (x )的定义域；（2） 求函数f (x )的导数f ′(x ).（3） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【课后练习】１．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）２．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减 y x O y x O yx O yx O A ．B ．C ．D ．C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减３．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．【课堂作业】课本p 42习题2.4 1,2【课后记】本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。

为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；1、 从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；2、 从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。

另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

3、 应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。

在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。

加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。

节奏要把握好。