（a，b]，[a，b）是否闭集?
➢ 回答: 不是
定理2.14. 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集 构成的族．则：
➢ (1)
➢ (2) 若A, B∈ . 则A∪B∈
➢ (3) 若
.则 ∈
➢ 有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开 ➢集．其余情形不一定． ➢ 有限个闭集的并闭集，任意个闭集的交是闭 ➢集．其余情形不一定．
➢ 3. 闭 包
定义2.13. 设X是一个拓扑空间，
,集合A
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
作:
定理2.15 拓扑空间X的子集A是闭集的充要 条件是 证明: 集合A为闭集当且仅当d(A)
而这又当且仅当A=A∪d(A)
定理2.16 设X是一个拓扑空间,则对于任意 A,B∈X,有：
包含于A的象的闭包，即 (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭
包含于B的闭包的原象，即
证明 (1)蕴涵(2)．设
是闭集
则 是一个开集，因此根据 (1)
是X中的一个开集，因此 是X中的一个闭集．
(2)蕴涵(3). 设
,
由于f(A)
根据(2)，
成立．
(3)蕴涵(4)设 应用(3)即得:
集合
定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 是开集.
证明必要性：设A是一个闭集 充分性：设：
即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
§2.4 拓扑基与邻域基
定义2.16. 设 为拓扑空间, B
的
,都存在B1 B,使的:
,如果任意
则称B是拓扑 的一个基，或称B是拓扑空间 X的一个基．
度量空间中的所有球形邻域构成的集族是 这个度量空间作为拓扑空间时的一个基．
离散空间的一个基由所有的单点子集构成．
定理2.21 设B是拓扑空间
的一个开集族
重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射
§2.3 拓扑空间的其他概念
➢ 一. 导集，闭集，闭包
➢ 1. 导 定集义2.11. 设
为拓扑空间,
,如果点
x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称
点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所
有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)．
点集拓扑学第二章拓扑 空间与连续映射234
2020年4月23日星期四
➢ 第二章 拓扑空间与连续映 射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映 射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与 邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握 证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关概 念.
综上所述，可见(3)必要性成立．
➢ (4) ➢ 证明(4)设：
➢ 由此(4)成立
➢ 2. 闭 集
定义2.12. 设X是一个拓扑空间，
的每一个凝聚点都属于A，即:
A是拓扑空间X中的一个闭集．
,如果A ,则称
➢ 说 ➢ 离散空间中的任何一个子集都是闭集 明 平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是 闭集
则B是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一个x∈X
和x的每一个邻域
, 存在 使得:
➢ 证明:必要性,如果B是X的一个基,则对于每一个
➢ 和每一个
,都存在
,使得:
➢ 由于B是基,所以存在
,使得
➢ 所以,存在某个
➢ 充分性: 对于
,和每一个
➢ 于是:
,使得 ,
定理2.22 设X是一个集合，B是集合X的一个子 集族,如果B满足条件：
➢说 明
➢ 凝聚点可以属于A,也可以不属于A 如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A 的一个孤立点．
例2.4. 离散空间中集合的凝聚点和导集． d(A)＝
例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集．
定理2.12 设X是一个拓扑空间， 则: ➢ (1) ➢ (2) ➢ (3) ➢ (4)
证明(3)必要性: 如果
➢ 定理2.24 设X和Y是两个拓扑空间，f : X→Y， ➢x∈X．则以下条件等价：
B∈B，
是X中的一个开集；
(3) 拓扑空间Y有一个子基 ，使得对于任何
,
是X中的一个开集；
定义2.18 设X是一个拓扑空间，x∈X．记 为x
的邻域系． 的子族 如果满足条件：对于每一个
,使得
,则称 是点 的
一个邻域基. 的子族
如果满足条件： 每一个有限
非空子族之交的全体构成的集族，即
是x的一个邻域基，则称此是点x的邻域系的 一个子基，或简称为点x的一个邻域子基．
定理2.17 拓扑空间X的任何一个子集A的闭 包 都是闭集.
定理2.18 设X是一个拓扑空间，F是由空间X 中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一 个子集A，有
定理2.19 设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y． 则以下条件等价：
(l) f 是一个连续映射 (2) Y中的任何一个闭集B的原象 是闭集 (3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象
➢ 证明: 任取
则
➢ . 所以,
,所以,
,从而
定理2.20 对A, BX, 有 ➢(1) X=X; ➢(2) AA; ➢(3) (A∩B) =A∩B; ➢(4) A=A.
定义2.15. 设X是一个拓扑空间，
,
如果任意的
中既含有A中的点,又含有
中的点,则称点 为A的边界点, A的边界点之集
称为边界, 记为A.
(1)
(2)如果
则对任何的
,
则X的子集族 是集合X的惟一的一个以B为基的拓扑
定义2.17. 设 为拓扑空间, , 如果 的 所有有限非空子族之交构成的集族,即
是拓扑 的一个基，则称集族 是拓扑 的一个子基
定理2.23 设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y．
则以下条件等价：
(1) f 连续；
(2) 拓扑空间Y有一个基B，使得对于任何一个
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集．
➢则 是Y中的一个闭集．对此集合应用(4) ➢可见:
➢而 :
➢ 二. 内部与边界
定义2.14. 设X是一个拓扑空间，
,称含于
A的所有开集的并称为集合A的内部,记为:
➢
是含于A里的最大开集
➢ 定理2.19. 设X是一个拓扑空间，
,
➢则
任取
,则
,
定➢理➢2A.2是所0开以. 对集,存A的在充X分,的必邻要域条V,使件得是,:A= .