0088《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误1. 设S 为非空数集。

若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确 （正确）2. 函数()2cos 1f x x =-为(,)-∞+∞上的有界函数 （正确）. 3．函数()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数. （正确）4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 也收敛. （正确）5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 不一定收敛. （正确） 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. （正确） 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. （错误） 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确） 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定有定义.二、选择题1．设⎩⎨⎧>-≤+=1,31,1)(x x x x x f , 则 5[()]2f f =( A )A23 ； B 25 ； C 29； D 21-2．设函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 ， 则(0)f f -=（ A ）．A 1- ；B 1 ；C 0 ； D123．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ C ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；D a x n n -=∞→lim ；6．已知 2lim()01x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（B ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D1,1-=-=b a三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x . 解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限0x →x x →→=0sin 24lim x x x →=0sin 24lim 282x x x →=⋅=. 3．求极限2nn→∞+++.解：因2n≤+≤+1n n==， 故 21n n →∞+++=+.4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f xxxx n 的连续性.若有间断点指出其类型. 当0x <时，有221()lim lim 11x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

又因为2lim ba b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b ba a <+<2.《数学分析选讲》 第二次作业 一、判断下列命题的正误1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在. （ 正确）2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一致连续．（ 正确） 3．若函数)(x f 在0x 处有定义，则)(x f 在0x 处一定连续. （错误 ）4. 若()f x 在[,]a b 上有定义，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ=（错误 ）5. 初等函数在其定义区间上连续. （ 正确） 6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. （ 正确） 7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根. （ 正确）二、选择题1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞→lim 的定义等价（ A ）A )1,0(∈∀ε，0>∃N ，N n ≥∀，ε≤-||A a n ；B 对无穷多个0>ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||A a n ；C 0>∀ε，0>∃N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；D 0>∀ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当X x -<时，M x f -<)(，则（A ） A -∞=-∞→)(lim x f x ； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞→)(lim x f x3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当X x -<时，()f x a ε-<，则（ B ）.A lim ()x f x a →+∞=； B lim ()x f x a →-∞=； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞=∞4．极限=-→xx x 10)21(lim （ B ）A 2e ；B 2e - ；C 1e - ； D 1 5．21sin(1)lim1x x x →-=-（C ） A 1 ； B 2 ； C 21； D 0 6．设sin ()xf x x=，则0=x 是f 的（ B ）． A 连续点 ； B 可去间断点 ； C 跳跃间断点 ； D 第二类间断点7．设 =)(x f 1(13), 0 , 0x x x k x ⎧⎪+≠⎨⎪=⎩ 在0=x 处连续， 则=k （ C ）A 1 ；B e ；C 3e ； D 3`1e8．方程410x x --=至少有一个根的区间是（D ） A 1(0,)2； B 1(,1)2； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题1．求极限 n nn 313131212121lim 22++++++∞→ 解 1、23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n2．求极限2n n →∞+++因为nn n +22n +++12+n n又 limn→∞=lim n→∞1=，所以由迫敛性定理，21n n ++=+3．求极限 )111)(110()110()13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x2222(1)(21)(31)(101)lim (101)(111)x x x x x x x →∞++++++++--22222221111(1)(2)(3)(10)lim11(10)(11)12101011217.1011610112x x x x xx x→∞++++++++=--+++⋅⋅===⋅⋅⋅4． 求极限x →0x x →→= 00sin 2sin 22x x x x x x→→===四、证明题 设)(x f 在0=x 连续，且对任何),(,+∞-∞∈y x 有)()()(y f x f y x f +=+, 证明：)(x f 在),(+∞-∞上连续.证 以0==y x 代入)()()(y f x f y x f +=+，可得0)0(=f . 由f 在0=x 连续，得0)0()(lim 0==→f x f x .),(0+∞-∞∈∀x ，由)()()()(0000x f x x f x x x f x f +-=+-=， 有)()()0()]()([lim )(lim 00000x f x f f x f x x f x f x x x x =+=+-=→→所以f 在0x 连续.《数学分析选讲》 第三次作业一、判断下列命题的正误1. 若函数)(x f 在点0x 处的左、右导数都存在，则)(x f 在0x 处必连续. （正确）2. 若)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处可微．（正确）3. 若两个函数在区间I 上的导数处处相等,则这两个函数必相等.（ 错误 ）4. 若)(x f 是可导的偶函数，则(0)0f '=. （正确） 5．若0(,)x a b ∈是)(x f 的导函数的间断点，则0x 是()f x '的第二类间断点. （正确） 6. 若00()0,()0f x f x '''=≠，则0x 一定是)(x f 的极值点. （正确）二、选择题1．设f 是奇函数，且0)(lim=→xx f x ， 则 （A ） A )(x f y =在0=x 的切线平行于x 轴； B 0=x 是f 的极大值点；C 0=x 是f 的极小值点；D )(x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴 2．设 )()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则()f a '=（A ） A )(a ϕ； B ()a ϕ' ； C ()a ϕ'- ； D 不存在 3．设f 可导，则 (sec )d f x = （ B ）A 2(sec )sec f x x dx '； B (sec )sec tan f x x xdx '；C (sec )sec f x xdx '；D 2(sec )tan f x xdx '4．设函数()f x 可导且下列极限均存在，则不成立的是（B ）A 0()(0)lim(0)x f x f f x →-'= ； B 0000(2)()lim ()h f x h f x f x h→+-'=；C 0000()()lim()2h f x h f x h f x h →+--'= ； D 0000()()lim ()h f x f x h f x h→--'= 5．设()ln f x x x =，且0()2f x '= ， 则0()f x =（ C ）Ae 2 ； B 2e； C e ； D 1 6. 已知()x f e y = ，则y ''=（ C ）A ()()f x ef x ''； B ()x f e ； C ()2{[()]()}f x e f x f x '''+ ； D ()[()()]f x e f x f x '''+7．下列结论中正确的有（ D ）A 如果点0x 是函数()f x 的极值点，则有0()0f x '=；B 如果0()0f x '=，则点0x 必是函数()f x 的极值点；C 函数()f x 在区间(,)a b 内的极大值一定大于极小值；D 如果点0x 是函数()f x 的极值点，且0()f x '存在， 则必有0()0f x '=8．设)(x f 可导，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆ （ D ） A 0 ； B ()f x '； C 2()f x '； D 2()()f x f x '⋅三、计算题1．已知ln(y x =，求y '.11221122222++++-+='x x x xx xy 11111222+-=+-+=x x x x x .2．设ln(y x =，求22d ydx ．dy dx ==132222221[(1)](1)22d y x x x dx --'=+=-+⋅=3．设⎩⎨⎧<+≥=11)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在1=x 可导.要使f 在1=x 可导，f 在1=x 必连续，于是必左连续.1)1()(lim )(lim 11==+=+=--→→f b a b ax x f x x ，从而a b -=1.f 在1=x 的右导数211lim 1)1()(lim )1(2231=--=--='++→→+x x x f x f f x x . 左导数为a x a ax x b ax x f x f f x x x =---+=--+=--='---→→→-111lim 11lim 1)1()(lim )1(1211，只要2=a ，则f 在1=x 的左导数与右导数相等，从而可导。