“位值原理与数的进制”
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本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握
的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理
位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字
和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，
=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)
2
×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号
内的。
【试题来源】
【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】
【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？
【试题来源】
【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
【试题来源】
【题目】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
【试题来源】
【题目】a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？
【题目】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。
求出所有这样的三位数。
【试题来源】 【题目】已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求，求1370,abcd abc
ab a abcd +++=求。
【试题来源】
【题目】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A 。
【试题来源】
【题目】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。
例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。
可以证明，所有的巧数都是两位数。
请你写出所有的巧数。
【试题来源】
【题目】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。
现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338。
求这个四位数。
【题目】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。
又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【试题来源】
【题目】计算：①(234)
7+(656)
7
；②(111001)2×(1011)2
【试题来源】
【题目】将二进制数(11010.11)2化为十进制数为多少？
【试题来源】
【题目】二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【试题来源】
【题目】将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【答案】E9.B。
【解析】在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13……。
根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。
【题目】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向
右数第l位数字是几?
【试题来源】
【题目】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，问在天平上能称多少种不
同重量的物体？
【试题来源】
【题目】在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?
【试题来源】
【题目】N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．
【试题来源】
【题目】试求(22006-1)除以992的余数是多少?
【试题来源】
【题目】有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
【试题来源】
【题目】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802。
求原来的四位数。
【试题来源】
【题目】某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。
统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。
原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。
这个学校学生最多是多少人？
【试题来源】
【题目】把下列各数转换成十进位制数：(1)（21012）3， (2)（3702）8， (3)（7215）12
【试题来源】
【题目】八进制的abc与七进制的cba相等，求a、b、c。
【试题来源】
【题目】一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．
①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天?
②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?
数学文化小故事：“0”的来历
大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。
他们使用罗马数字。
罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。
在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。
而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。
他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。
过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。
教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝!于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。
就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。
后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。