在实证分析中 , 数据 D 和 cop ula 类已知 , 所以
只需比 较 W l 的 值 , 具 有 最 大 W l 的 cl 就 是 最 优
cop ula ,关于完整的 p r ( Hl | D , I) 的计算方法参考文
第9期
一种选择最优 cop ula 的新方法
889
献[14 ].
2 copula 函数的选取及尾部相关
Q. 根据 Bayes 定理 ,对于 copula 集 cl , l = 1 , …, Q ,有
pr ( Hl |
D , I)
=
pr(D |
Hl , I) p r ( p r ( D | I)
Hl
|
I) .
(1)
式中 ,p r ( D| Hl , I) 是似然值 ,p r ( Hl | I) 是先验概率 , p r ( D| I) 是归一化常数 , I 是额外信息.
1. 1 似然值 p r ( D | Hl , I) 式 (1) 中似然值 p r ( D| Hl , I) 是从第 l 个 cop ula
中得到数据 D 的概率 , 对于大多数 cop ula 来说 ,
p r ( D| Hl , I) 没有明确的表达式 , 因为 cop ula 密度 函数 cl 是依赖于参数θ的 ,见表 1. 由于我们考虑的 是整个 cop ula 类 ,与θ的具体值无关 ,也就是θ的值
用φ表示所有的 cop ula 组成的集合 ,φ的有限
子集φQ 是我们讨论时用到的 cop ula 类构成的集 合 ,φQ 中的每一个 cop ula 类记为 Cl , l = 1 , …, Q. 定 义 Q 个原假设
Hl :数 据 之 间 的 相 关 关 系 用 Ct 刻 画 , l = 1 , …, Q.
Abstract : Mo st of t he t raditio nal met hods of selecting t he mo st p ro bable cop ula are based o n t he goodness2 of2fit . A new met hod named Bayesian met hod was int roduced. Different f ro m t he ot her s , t he met hod t reat s t he parameter s as nuisance variables , hence t he parameters do nπt need to be estimated. A n empirical analysis is made using t he SZI and S &P 500 Index by t he new met hod. The result shows t hat t he p ro babilit y of Clayto n cop ula family is t he biggest , so t he Clayto n cop ula family is t he mo st p ro bable. At last , t he lower tail dependence of t he t wo indices is got . Key words : Bayesian model selectio n ; cop ula family ; goodness2of2fit ; Kendallπs tau ; tail dependence
收稿日期 :2009204217 ;修回日期 :2009206202
基金项目 :中国科学院知识创新工程重要方向项目 ( KJ CX32SYW2S02) 资助. 作者简介 :孙明明 ,女 ,1986 年生 ,硕士. 研究方向 :金融工程. E2mail : mingyue @mail . ustc. edu. cn 通讯作者 :程希骏 ,副教授. E2mail : xjc @ustc. edu. cn
关结构[ 526 ] . cop ula 的种类很多 ,选用哪种 cop ula 刻画 2 个
市场之间的结构 ,也就是最优 cop ula 的选取是我们 关心的问题. 很多文献都选用拟合优度 ( goodness2 of2fit , GO F) 作为判断的标准 , GO F 检验方法有卡 方检测[7] ,这种方法的最大缺点是对 p 维空间 [ 0 , 1 ] P 划 分 的 任 意 性 ; 基 于 Ro senblat t [829] 变 化 的 GO F ,正像 Fermanian 提出的 ,这种方法太乏味 ,特 别对于高维情形 , Fermanian 提出了一种基于核估 计的 GO F ,用核密度函数[10] 来平滑经验密度函数 ,
是任意的 ,所以可以选择一个θ的函数β= g (θ) , 用 c( u , v| g - 1 (β) ) 代替 c( u , v|θ) , 不妨取β=τ= g (θ) ,
其中 ,τ是 Kendall τ,τ和θ的关系见表 1 , 在式 ( 1)
中引入 Kendallπτ干扰变量 ,有
∫1
p r ( Hl | D , I) = p r ( Hl ,τ| D , I) dτ = -1
A ne w method of selecting the most probable copula
SUN Mingming , C H EN G Xijun
( De pt. of S t atistics an d Fi nance , Uni versit y of S cience and Technolog y of Chi na , Hef ei 230026 , Chi na)
孙明明 ,程希骏
(中国科学技术大学统计与金融系 ,安徽合肥 230026)
摘要 :传统的选择最优 cop ula 的方法大都是基于拟合优度的. 引入了一种 Bayes 方法 ,这种方法独 立于参数 ,通过计算各种 cop ula 类对应的概率来选择最优 cop ula 类. 并选择上证指数和标准普尔 500 指数做实证分析 ,结果表明 :与其他 cop ula 类相比 ,Clayto n cop ula 类对数据具有更好的拟合 效果 ,进而得到指数间的下尾相关系数. 关键词 :Bayes 方法 ;cop ula 类 ;拟合优度 ; Kendallπsτ;尾部相关性 中图分类号 : F830 文献标识码 :A doi :10. 3969/ j. issn. 025322778. 2010. 09. 002

n
∏ p r ( D | Hl ,τ, I) = p r ( ui , vi | τ, Hl , I) = i
n
∏ cl ( ui , vi | gl- 1 (τ) ) .
(2)
i
式中 , cl ( ui , vi| gl- 1 (τ) ) 是第 l 个 copula 的密度函数.
表 1 Kendallπτ及其定义域
∫1
pr(D |
-1
Hl ,τ, I) p r ( Hl | τ, I) p r (τ| p r ( D | I)
I) dτ.
式中 , p r ( Hl | τ, I ) 是 cop ula 集 上 的 先 验 概 率 ,
p r (τ| I) 是 Kendallπτ的先验密度.
因为 ( ui , vi ) i = 1 , …, n 是独立 ,于是有
0 引言
伴随着经济全球化 ,各国的经济表现出越来越 密切的联系 ,金融市场当然也不例外 ,各国的金融市 场之间的相互影响和依赖逐渐加深. 探寻这些市场 之间的相关性和相关结构是很有意义的事. 国内外 很 多 文 献 都 选 用 cop ula[1] 作 为 研 究 的 工 具. Embrecht sp 把 cop ula 引入到金融中[2] , 张尧庭从 理论上探讨了 cop ula 在金融中应用的可行性[324] . 韦艳华应用 cop ula 准确刻画了金融资产之间的相
Clayto n cop ula 函数具有下尾相关性 , 适宜于描述
金融市场之间的下尾相关特性.
( Ⅱ) Gumbel2Ho uggaard cop ula 分布函数为
Cθgum ( u , v) = - [ ( - ln u)θ + ( - ln v)θ]1/θ ,
第40卷第9期 2010年9月
J OURNAL OF UNIVERSITY OF S CIEN CE AND TECHNOLO G Y OF CHINA
文章编号 :025322778 (2010) 0920887205
Vol. 40 ,No . 9 Sep . 2 0 1 0
一种选择最优 copula 的新方法
A14 F GM
1
-
1
2 + 2θ
2θ 9
[ 1/ 3 ,1 ] [ - 2/ 9 ,2/ 9 ]
1. 2 先验值 计算先验值的方法参考文献 [ 15 ] , 首先给出先
验信息 I : I1 :τ属于集 Λ, 并且每个τ∈Λ是等可能 的 ; I2 :对给定的τ, 满足τ∈Ωl 的 cop ula 类是等可 能的. 这里 ,Ωl 是第 l 个 cop ula 中τ的定义域 ;Λ是 先验信息 ,若正相关 ,可设 Λ= [0 ,1 ] ,若没有信息可 用 ,可令 Λ= [ - 1 ,1 ].
把式 (2) , (3) 代入式 (1) 中有
pr ( Hl |
D , I)
=
1 pr(D |
I)
1 λ(Λ)
·
n
∫ ∏ Ω ∩Λ l
i =1
cl
(
ui
,
vi
|
g
l
1
(τ)
)
dτ.
(4)
令
n
∫ ∏ W l
=
1 λ(Λ)
Ω