第四章 可测函数
§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造
§4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可
测函数是勒贝格积分的基本对象。 记号：一个定义在 E R n 上的实函数 f ( x) 确定了E的一组 子集
E f a x | x E, f ( x) a
推论：设 f ( x)在E上可测，则 E f
a
总可测，不论 a 是有
限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
例题 1：区间[a,b]上的连续函数与单调函数都是是可测函数。 例题 2：勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。
问题：连续函数是可测函数吗？ 2、点集上的连续函数定义 定义在 E R n上的实函数 f ( x)，如果
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集
M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 a.e.于E成立。 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
即：如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，
敛于 f ，则称 fn 在E上几乎处处收敛于 f
f n f a.e.于E
，记为
一致收敛：若对于 0 ，存在自然数N，对 n, m N 及 x E 都有 fn ( x) fm ( x) ，则称函数列 fn 在E上一致收敛于 f 。
2、几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设 mE ， fn 是E上可测函数列， f 是E上几乎处处有限
a.e.有限的可测函数 f ( x)，满足下列关系：
对任意 0 有 lim mE[| f n f | ] 0 ，则称函数列 fn 依 n 测度收敛于 f ( x) ，记为 fn ( x) f ( x),
即 0, 0, N , n N : mE fn f , 则 f n ( x) f ( x),
的函数， fn 在E上几乎处处收敛于 f ，则对任意 0 ，存
在子集 E E ，使 fn 在 E 上一致收敛，且 m( E \ E ) 则称 fn 在E上几乎一致收敛于 f ，记为 f n f a.u.于E
注：1°”一致收敛”强于“收敛”， “收敛”强于“几乎处处收敛” 2°叶果洛夫定理得逆命题就是若 f n f a.u.于E ，则 f n f a.e.于E 3°叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系， 根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一 个子集 上当作一致收敛的函数列来处理。 E ( 0, m( E \ E ) )
（4）[0,1]上的狄利克雷函数 D( x) 0 a.e.于 [0,1]
性质：
（1） 1且 2 a.e.于E . 1 a.e.于E 且 2 a.e.于E ，则 1 或 2 a.e.于E ， （2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函 数，则g也是E上的可测函数。
可以说是基本上连续的函数，该定理揭示了可测函数与连续函数的关系。 （2）若 f ( x) 在E上可测， 0 ，在E上除去一个测度小于 的子集 后，函数连续，这样就将可测函数问题转化为连续函数问题。
§4 依测度收敛
1、依测度收敛 设 fn 是 E Rn上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上
f n f a.e.于E
黎斯条件下
mE
叶果洛夫条件下
f n f 于E
黎斯条件下的子列在叶果洛 夫条件下
f n f a.u.于E
E1 ,..., Es 即 E
s i 1
Ei ，使 f ( x) 在每个 Ei 上都等于某常数
c，则称
f ( x)
为简单函数。 结论：任何简单函数都是可测的。
例如：在区间[0，1]上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。
（2）简单函数与可测函数的关系 定理 7：设 f ( x)在E上可测，则 f ( x)总可以表示成一列简单函 数 n ( x)的极限函数 f ( x) lim n ( x) ，而且还可办到 n
则 fn ( x) f ( x),
定理说明：依测度收敛弱于几乎处处收敛。
fn f a.u.于E, 则 f n ( x) f ( x),
3、黎斯定理 设在E上 fn 测度收敛于 f ，则存在子列 f n 在E上几乎
i
处处收敛于 f
4、测度收敛的唯一性
设fn ( x) f ( x), f n ( x) g ( x)， 则f ( x) g ( x) a.u.于E.
f ( x) 本身也由E的这组 这里 a 取遍一切有限实数，反之，
子集而完全确定。 类似地，有 E f a , E f a , E f a , E a f b
1、可测函数定义 设 f ( x) 是定义在可测集E R n 的实函数，如果对于任何有限实
E f 数a ， a 都是可测集，则称 f ( x)为定义在E上的可测函数。
1 f ( x), f ( x) g ( x),( g ( x) 0 集中在零测集上）可测集。
可 测 函 数 列 的 极 限
定理 5：设 fn ( x) 是E上一列（或有限个）可测函数，则
( x) inf f n ( x)与 ( x) sup f n ( x) 都在E上可测。 n
1 ( x) 2 ( x)
（3）可得可测函数等价定义
函数 f ( x) 在E上可测的充要条件是 f ( x) 总可以表示成一列简单 函数 n 的极限函数，其中 1 ( x) 2 ( x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
E
s
Ei
i 1
上，且 f ( x)在每个 Ei 上都可测，则 f ( x)在E上也可测。
注：并不是可测集的所有子集都是可测的。
引理 ：设 f ( x) 与g ( x) 为 E上的可测函数，则 E[ f g ] 与E[ f g ]
都是可测集。
定理 4：设 f ( x) 与 g ( x) 为在E上可测，则函数 f ( x) g ( x), | f ( x) |,
n
f n ( x) 定理 6：设 fn ( x) 是E上一列可测函数，则 F ( x) lim n
G( x) lim f n ( x)
n
它也在可测。
也在E上可测，特别当 F ( x) lim f n ( x) 存在时， n
4、简单函数及其性质
（1）定义：设 f ( x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
析中连续的概念相一致。
定理 2：可测集 E R n 上的连续函数是可测函数。
3、可测函数基本性质 定理 3： （1）设 f ( x) 是可测集E上的可测函数，而 E1 E
为E的可测子集，则 f ( x)看作定义在 E1 上的函数时，它是 E1
上的可测函数； （2）设 f ( x)定义在有限个可测集 Ei (i 1, 2,..., s) 的并集

不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设 f ( x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a, b (a b)
f ( x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）E a f b 都可测。
§2 叶果洛夫定理
1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛 设 fn 是定义于E上的函数列
f n ( x) f ( x), 收敛：若存在E上的函数 f ，对于 x E ，lim n
则称函数列 fn 在E上收敛， f 为 fn 的极限函数。
mE1 0 ， fn 几乎处处收敛：若存在 E1 E ， 在 E \ E1 上收
文字描述：如果事先给定一个误差 0 ，不论这个 有多么小，使得
fn f 的点 大而趋向于0。
x 虽然可能很多，但这些点的全体的测度随着 n 无限增
2、勒贝格收敛定理
mE （1）设E可测，
（2） fn 是E上a.e.有限的可测函数列； （3） fn 是E上a.e.收敛于 f ，且| f ( x) | a.e.于E；
§3 可测函数的构造
鲁金定理 设 f ( x) 是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意 0 ，存
在闭子集 F E ，使 f ( x) 在 F 上是连续函数，且 m( E \ F )
简言之，在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函 数。 注： （1）可测集上的连续函数一定是可测函数，反之，一般的可测函数
y0 f ( x0 )有限，而且对
于 y0 的任一邻域V，存在 x0 的某邻域U，使得 f U E V，即
只要 x E 且 x U 时，便有 f ( x) V ，则 f ( x)在 x0 E 连续。
如果 f ( x) 在E中每一点都连续，则称f ( x) 在E上连续。
注：这个定义并不要求E是可测集பைடு நூலகம்当E是某个区间时，它与数学分
是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上
几乎处处成立。
mM [ f g ] 0 例题 3 （1） f ( x) 与 g ( x) 在E上几乎处处相等，指：
（2） f ( x) 在E上几乎处处有限，指：mM [| f | ] 0 （3）著名的勒贝格微分定理：若 f ( x) 是[a,b]上的单调函数，则 f ( x) 在[a,b]上几乎处处可导。