c a；[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图 1．1-2，在 Rt ∆ ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义，有a = si n A ， b = si n B ，又si n C = 1 = ccc c则 a = b = c =c bsi n A si n B si n C从而在直角三角形 ABC 中，a =b =cCBsi n A si n B si n C(图 1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1．1-3，当∆ ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有 CD=a si n B =b si n A ,则 a = b， 同 理 可 得 c = b， si n A si n Bsi n C si n B 从 而 a = b =cA cBsi n A si n B si n C(图 1．1-3)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a =b = c[理解定理] si n A si n B si n C （1） 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使a = k si n A ，b = k si n B ，c = k si n C ； （2）a =b =c 等 价 于 a = b ， c = b ， a = c si n A si n B si n C si n A si n B si n C si n B si n A si n C 从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a = b si n Asi n B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如si n A = a。

si n B b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]例 1．在∆ABC 中，已知 A =32.00 ， B =81.80 ， a =42.9 cm ，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，C =1800 -(A + B )=1800 -(32.00 +81.80 )=66.20 ；根据正弦定理，Cb a,= = a + b - 2a ⋅bc b = a sin B = sin A 根据正弦定理， c = a sin C = sin A 42.9sin81.80 sin32.0042.9sin66.20sin32.00≈80.1(cm ) ；≈74.1(cm ).评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例 2．在∆ABC 中，已知 a =20 cm ， b =28 cm ， A =400 ，解三角形（角度精确到10 ，边长精确到 1cm ）。

解：根据正弦定理，sin B = b sin A = a 28sin40020≈0.8999. 因为00 ＜ B ＜1800 ，所以 B ≈640 ，或 B ≈1160.⑴ 当 B ≈640 时，C =1800 -(A + B )≈1800 -(400 +640 )=760 ，c = a sin C = sin A 20sin760 sin400≈30(cm ).⑵ 当 B ≈1160 时，C =1800 -(A + B )≈1800 -(400 +1160 )=240 ，c = a sin C = sin A 20sin240 sin400≈13(cm ).[补充练习]已知∆ ABC 中， si n A : si n B : si n C = 1: 2: 3 ，求a : b : c （答案：1：2：3） （2） 正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A 、B 均未知，所以较难求边 c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图 1．1-5，设C B = a ，C A =b ，A B =c ，那么c = a -b ，则2c ⋅c = (a -b )(a -b )a ⋅a +b ⋅b - 2a ⋅bC = 2 2 从而 c 2 = a 2 +b 2 - 2a b cos C(图 1．1-5)同理可证于是得到以下定理a 2 =b 2 +c 2 - 2b c cos A b 2 = a 2 +c 2 - 2a c cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。

即a 2 =b 2 +c 2- 2b c cos A(2 2)2 +( 6 + 2 )2 -(2 3)22⨯2 2 ⨯( 6 + 2)b 2 = a 2 +c 2 - 2a c cos B c 2 = a 2 +b 2 - 2a b cos C思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：b 2 +c 2 - a 2[理解定理]cos A =cos B =cos C =2bc a 2 + c 2 -b 22ac b 2 + a 2 -c 22ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ ABC 中，C= 900 ，则cos C =0 ，这时c 2 = a 2 +b 2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]例 1．在∆ ABC 中，已知 a =2 ⑴解：∵ b 2 = a 2 + c 2 -2ac cos B， c = 6 + ， B =600 ，求 b 及 A = (2 3)2 +( 6 +2)2 -2⋅2 3⋅( 6 + 2) cos 450=12+( 6 + = 8 ∴ b =2 2.2)2 -4 3( 3 +1)求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b 2 +c 2 - a 2 1 ⑵解法一：∵cos A = ∴ A =600.2bc== 2, 例 2．在∆ ABC 中，已知 a =134.6cm ， b =87.8cm ， c =161.7cm ，解三角形解：由余弦定理的推论得：b 2 +c 2 - a 2cos A =2bc=87.82 +161.72 -134.62 2⨯87.8⨯161.7 ≈0.5543, A ≈56020' ；3 22 cos B =c 2 + a 2 -b 22ca=134.62 +161.72 -87.82 2⨯134.6⨯161.7 ≈0.8398, B ≈32053' ；C =1800 -(A + B )≈1800 -(56020'+32053')[补充练习]在∆ ABC 中，若a 2 =b 2 +c 2 +b c ，求角 A （答案：A=1200 ） Ⅳ.课时小结（1） 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2） 余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

[随堂练习 1]（1） 在∆ ABC 中，已知a = 80 ，b = 100 ， ∠A = 450，试判断此三角形的解的情况。

（2） 在∆ ABC 中，若a = 1，c = 1， ∠C = 400 ，则符合题意的 b 的值有 个。

2（3） 在∆ ABC 中，a = x c m ，b = 2c m ， ∠B = 450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2 < x < 2 ）2．在∆ ABC 中，已知a = 7 ，b = 5 ，c = 3 ，判断∆ ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知a 2 =b 2 +c 2 ⇔ A 是直角⇔ ∆A B C 是直角三角形 a 2 >b 2 +c 2⇔ A 是钝角⇔ ∆A B C 是钝角三角形 a 2 <b 2 +c 2⇔ A 是锐角⇔∆A B C 是锐角三角形（注意：A 是锐角⇔ ∆A B C 是锐角三角形）解： 72 > 52 + 32 ，即a 2 >b 2 +c 2，∴ ∆ABC 是钝角三角形 。

[随堂练习 2] （1） 在∆ ABC 中，已知si n A : si n B : si n C = 1: 2: 3 ，判断∆ ABC 的类型。

（2） 已知∆ ABC 满足条件a cos A =b cos B ，判断∆ ABC 的类型。

（答案：（1） ∆A B C 是钝角三角形 ；（2） ∆ ABC 是等腰或直角三角形）2.在 ∆ ABC 中，A = 600 ，b = 1，面积为 3 ，求 a +b +c的值2 si n A + si n B + si n C分析：可利用三角形面积定理S = 1 = 1 = 1 以及正弦定理a b si n C a c si n B b c si n A 2 2 2a =b =c = a +b +csi n A si n B si n C si n A + si n B + si n C33 解：由S = 1= 得c = 2 ，bc si n A 22则a 2 =b 2 +c 2 - 2b c cos A =3，即a =，从而a +b +c = a = 2si n A + si n B + si n C si n AⅢ.课堂练习（1） 在∆ ABC 中，若a = 55 ，b = 16 ，且此三角形的面积S = 220，求角 C（2） 在∆ ABC 中，其三边分别为 a 、b 、c ，且三角形的面积S =（答案：（1） 600 或1200 ；（2） 450 ）a 2 +b 2 -c 24，求角 CⅣ.课时小结（1） 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2） 三角形各种类型的判定方法； （3） 三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业（1） 在∆ ABC 中，已知b = 4 ，c = 10 ，B = 300，试判断此三角形的解的情况。

（2） 设 x 、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。

（3） 在∆ ABC 中，A = 600，a = 1，b +c = 2 ，判断∆ ABC 的形状。