角平分线的性质定理和判定
第一部分：知识点回顾
1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；
2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②
点到边的距离；
3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上
第二部分：例题剖析
例 1. 已知：在等腰 Rt △ ABC中，AC=BC，∠C=90°， AD平分∠ BAC，DE⊥ AB于点 E，
AB=15cm，
（1）求证： BD+DE=AC．
（2）求△ DBE的周长．
例 2.如图，∠ B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ ADC，求证：AM平分∠ DAB．
例 3. 如图，已知△ ABC的周长是 22， OB、 OC分别平分∠ ABC和∠ ACB， OD⊥BC于 D，且 OD=3，△ ABC 的面积是多少？
第三部分：典型例题
例 1、已知：如图所示， CD⊥ AB 于点 D， BE⊥ AC 于点 E， BE 、CD 交于
点 O，且 AO 平分∠ BAC ，求证： OB=OC ．
【变式练习】如图，已知∠ 1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠ PCB+∠BAP=180o
A
P
N
B
例 2、已知：如图，∠ B= ∠ C=90°，M 是 BC 的中点， DM 平分∠
ADC ．（ 1 ）若连接 AM ，则 AM 是否平分∠ BAD ？请你证明你的结论；（ 2 ）线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？请说明理由．1
2
F C
（3）CD、AB 、AD 间？直接写出结果
【变式练习】如图，△ ABC中，P是角平分线AD， BE 的交点．求证：点P在∠ C 的平分线上．
例 3. 如图，在△ABC 中，BD 为∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．
【变式练习】如图， D、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．
第四部分：思维误区
一、忽视“垂直”条件
例 1. 已知，如图， CE⊥ AB,BD⊥ AC,∠ B=∠C， BF=CF。

求证： AF 为∠ BAC的平分线。

第五部分：方法规律
（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法
有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平
分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．
第七部分：巩固练习
A组
一、耐心选一选，你会开心（每题 6 分，共 30 分）
1．三角形中到三边距离相等的点是（）
A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点
C、三条中线的交点
D、三条角平分线的交点
2．如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ BC， AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，垂足为E，若 AB ＝12cm，则△ DBE 的周长为（）
C
D
B E A
A 、 12cm B、 10cm C、 14cm D 、11cm
3．如图 2 所示，已知 PA、PC 分别是△ ABC 的外角∠ DAC 、∠ ECA 的平分线， PM ⊥ BD ， PN⊥ BE，垂足分别为 M 、 N，那么 PM 与 PN 的关系是（）
A.PM ＞ PN
B.PM ＝ PN
C.PM ＜PN
D.无法确定
D
B D C
M
F
E
A
P
B C NE
图 2
A
图 3
4．如图 3 所示，△ ABC 中， AB=AC ， AD 是∠ A 的平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是E、 F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )
① AD 平分∠ EDF；②AE=AF ；③ AD 上的点到 B 、 C 两点的距离相等
④到 AE 、 AF 距离相等的点，到 DE、 DF 的距离也相等
A、1 个
B、2 个
C、3 个
D、4 个
5．如图，已知点 D是∠ ABC的平分线上一点，点 P在 BD 上，PA⊥AB ，PC⊥ BC， A 垂足分别为 A， C．下列结论错误的是（）．
P
A ． AD=CP
B ．△ ABP≌△ CBP D
C．△ ABD≌△ CBD D．∠ ADB=∠ CDB ． B C
二、解答题
6．已知： AD 是△ ABC 角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E、 F， BD ＝ CD ，证：∠ B ＝∠ C.
A
E F
B D C
7．如图，已知在△ABC 中， C 90o，点D是斜边AB的中点，AB 2BC ， DE AB 交AC于
E ．求证： BE 平分 ABC ．Ｂ
Ｄ
ＡＥＣ
8、如图，∠ B=∠ C=90 °， M 是 BC 的中点， DM 平分∠ ADC ，求证： AM 平分∠ DAB.
9.如图，在∠ AOB 的两边 OA ， OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ， DN 和 EM 相交于点C．
求证：点 C 在∠ AOB 的平分线上．
第八部分：中考体验
一．选择题（共 3 小题）
1．（ 2011?衢州）如图，OP 平分∠ MON ， PA⊥ ON 于点 A ，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若PA=2，则 PQ 的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
2．（ 2011?恩施州）如图， AD 是△ABC 的角平分线， DF⊥ AB ，垂足为F， DE=DG ，△ADG 和△AED
的面积分别为50 和 39，则△EDF 的面积为（）
A．11 B ．5.5 C． 7 D．3.5
3（． 2010?鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠ BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥ AC 交 AC 于点 F．S △ABC =7，DE=2 ，AB=4 ，则 AC 长是（）
A．4B．3C．6D．5
4．（ 2011?岳阳）如图， AD ∥BC ，∠ ABC 的角平分线BP 与∠ BAD 的角平分线AP 相交于点 P，作 PE ⊥ AB 于点 E．若 PE=2，则两平行线AD 与 BC 间的距离为_________．
5．（ 2011?桂林）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
已知：
求证：
证明：。