磁场高斯定理
磁场环路定理
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一、磁场的高斯定理
1.磁力线 BB B A 为形象的描绘磁场分布的而 引入的一组有方向的空间曲线。 B A 1.规定 •方向：磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
•大小：通过磁场中某点垂直于 磁感应强度的单位面积的磁力 线根数等于该点磁感应强度的 d m 大小。

穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
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2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
d m
dS
B
dS
B
2
磁感应强度大小为磁力线的面密度。 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小。
2.磁力线形状 •直线电流的磁力线分布
•载流螺线管的磁力线分布
I
3.磁力线的性质 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远； 2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起； 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
dB
dB' '
dl '
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
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B dl B 2l o jl
L
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有：
L
(1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算；
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例1：密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， 求管内一点的磁感应强度 。 . . . . . . . . . . . . . . . 解：理想密绕螺线管，管内的磁 a b 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； B 作闭合环路 abcda,环路内的 电流代数和为： I nabI
B dl B 2 r 0 N I ( L) 0 N I B 2 r
当 r >> ( R2 – R1) 时
r
。 B 0nI 与直螺管的结论一致 d
N n 为沿轴向线圈密度； 2r
1
dr
r
d2 d1
h
Φm B dS d2 Bhdr
2
0 N I h d2 dr 0 N I h d1 ln d 2 d2 2 2 r
1 2
(S)
2
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m B dS 0
证明： 由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出 闭合面的磁力线根数相同，正负通量抵消。 磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质： •磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。
二、安培环路定理
1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围 的电流代数和乘以 0。
数学表达式：

L
B dl 0 I
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安培环路定理
2.明确几点

L
B dl 0 I
(1)电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定 则时电流 I 取正；反之取负。
(2) B 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，
它与环路内外电流都有关。 (3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流 不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。


2
B

磁通量单位：韦伯，Wb


2
ˆ n
B
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3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
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例4：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 dB ' 直电流的场。 p 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B2r 0 NI B 2r
2r
B dl 0 I
L
B 0nI与直螺管的结论一致。
左边=右边 定理成立。 推广到任意路径都成立，证毕。
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安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3.选取环路原则
B 的方向与环路方向 (3)要求环路上各点 B 大小相等， I 一致，目的是将: B dl 0 0 I 写成 B L dl 或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos 0 B dl 0
B dl
2 I r 2 I r 2I 2 R R
Bdl cos
L
R
由于环路上各点 磁感应强度 大小相 等，方向与环路一致。
r
B // dl , cos 1
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2 r I I B dl B 2 r B d l 0 2 0 R 0 I B r r 2 2R
b c a a b
c d B dl B dl 0, B d l , cos 0 d b d B 0nI B外 0, B dl 0 螺线管外： b c B dl B dl Bab 0 I 0nabI
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
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例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
2.圆柱体外一点 r > R 区域在圆柱体外作一环路， 环路内电流代数和为： I I 同理：
I
I B dl B 2 r B d l 0 0 I 1 B B 2r r I 0
分布曲线：
L
R
r
r
2R B r
o
1 B r
L
R
r
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例3：一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通 有电流 I ，求管内磁感应强度。
(4)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场。
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特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的B 线为一系列的同心圆，选取 路径方向与磁感应强度方向相同；
L
左边= B dl L Bdl cos
由于环路上各点的磁感应强 度大小相等；且 B // dl
I
L
B
0, cos 1 0 I 2r 0 I 左边= B dl 2r L 右边= 0 I 0 I
3
2.磁通量 定义:通过任一曲面的磁力线的条 数称为通过这一面元的磁通量。 1.穿过一面元的磁通量 d m
ˆ dS n

dS 面元在垂直于磁场方 dS 向的投影是 dS ， 所以通过面元 dS 的磁通量等于面元dS的磁通量,
B
dS dS cos(E n) dS cos
c
a
B dl B dl B dl B dl B dl
d
da
c
B外 0
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例2：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。 解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。 I 1.圆柱体内部 r < R 区域选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为：