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核心要点研究
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例1 [2013·南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分
别是边CD和BC的中点．若
→ AC
＝λ
→ AE
＋μ
→ AF
，其中λ，μ∈
R，则λ＋μ＝________.
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[解析] A→C＝A→B＋A→D， A→E＝12A→B＋A→D， A→F＝A→B＋12A→D，
于是得λ12＋λ＋12μμ＝ ＝11， ，
→ OA
＝a， O→B ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹
角，当θ＝________或________时，两向量共线，当θ＝
________时，两向量垂直．
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• (2)平面向量的正交分解
• 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解．
• (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面 内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与 数对(x，y)是一一对应的，因此把________叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共
线的充要条件是λ＋μ＝1.
3. 平面的基底中一定不含零向量.
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课前自主导学
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• 1. 平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使________．其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
• 2. 利用已知向量表示未知向量，实质就是利 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算．
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[变式探究] [2013·金版原创]如图，在△ABC中，已知 AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中 点，若A→M＝λA→B＋μB→C，则λ＋μ＝________.
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
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• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
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• 1. 了解平面向量基本定理及其意义． • 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示． • 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数
乘运算． • 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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• 1个重要区别 • 向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后， 2项其必起须防点范和终点的坐标都变了，但向量的坐 1. 标不变若．a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或
• [审题视点] 根据题意可设出点C、D的坐标， 然后利用已知的两个关系式，得到方程组， 求出坐标．
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[解] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)． 因为A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
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3. (x1±x2，y1±y2) (x2－x1，y2－y1) (λx，λy) x1y2－
x2y1＝0
填一填：(1)(－1，－1)
提示：
→ BC
＝
→ BA
＋ A→C ＝(－1，
－1)．
(2)(1,2) (3)2 提示：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∴(λ＋2)(－7)＝
(2λ＋3)(－4)，∴λ＝2.
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(1)在△ABC中，D为BC边中点，设
→ AB
＝a，
→ AC
＝b，则
用基底a，b表示A→D应为________．
(2)设e1，e2表示平面内向量的基底，则a＝e1＋λe2与b＝
－e1＋2e2共线的条件是λ＝________.
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• 2. 平面向量的坐标表示
(1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作
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• (4)规定： • ①相等的向量坐标________，坐标________
的向量是相等的向量； • ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始
点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关系．
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在正△ABC中，向量A→B与B→C的夹角为60°，对吗？
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已知
→ AB
＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标是
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(1)若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，则B→C＝________. (2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则3a＋b＝ ________. (3)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量(－4， －7)共线，则λ＝________.
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1. a＝λ1e1＋λ2e2 填一填：(1)12(a＋b) (2)－2 2. 0° 180° 90° (x，y) 相同 相同 想一想：提示：不对，向量A→B与B→C的夹角为120°. 填一填：(1,3)
180°，忽视其中一种情形会出错． 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示
为xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
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3条必会结论
1. 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2.
已知
→ OA
＝λ
→ OB
＋μ
→ OC
[答案]
4 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以λ＋μ＝43.
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奇思妙想：在△ABC中，M为BC上任意一点，N为AM 的中点，A→N＝λA→B＋μA→C，求λ＋μ的值．
解：A→M＝2A→N＝2(λA→B＋μA→C) ＝2λA→B＋2μA→C， ∵M、B、C共线， ∴2λ＋2μ＝1，∴λ＋μ＝12.
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• 1．以平面内任意两个非零不共线的向量为一 组基底，该平面内的任意一个向量都可表示 成这组基底的线性组合，基底不同，表示也 不同．
________．
3. 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝____________；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝____________；
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• (3)若a＝(x，y)，则λa＝________； • (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， • 则a∥b⇔____________.
答案：23
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解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°， 所以BH＝1，M为AH的中点， 所以A→M＝12A→H＝12(A→B＋B→H) ＝12(A→B＋13B→C) ＝12A→B＋16B→C，所以λ＋μ＝23.
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例2 [2013·赤峰调研]已知点A(－1,2)，B(2,8)以及A→C＝ 13A→B，D→A＝－13B→A，求点C、D的坐标和C→D的坐标．