2018北京市合格性考练习题（一）数 学第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1. 设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则IM N = （ ）.A {1} .B {2,3} .C {0,1,2} .D ∅2. 函数5cos(2)6y x π=-的最小正周期是 （ ） .A 2π .B π .C 2π .D 4π3. 下列四个函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是 （ ）.A 3log y x = .B 3xy = .C 12y x =.D 1y x=4. 若54sin =α，且α为锐角，则sin2α的值等于 （ ） .A 1225 .B 1225- .C 2425.D 2425- 5. 不等式2x x >的解集是 （ ）.A (0)-∞，.B (01)， .C (1)+∞， .D (,0)(1,)-∞+∞6. 在ABC ∆中，2a =,b ,4A π∠=,则B ∠= （ ） .A 3π .B 6π .C 6π或56π .D 3π或23π7. 如果函数2x y c =+的图象经过点(2,5)，则c = （ ） .A 1 .B 0 .C 1- .D 2-8. 已知过点(2,)A m -，(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ）.A 0 .B 2 .C 8- .D 109. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+，那么 （ ）.A (2)(3)(0)f f f << .B (0)(2)(3)f f f <<.C (0)(3)(2)f f f <<.D (2)(0)(3)f f f <<10.实数5lg 24lg )21(0++-的值为 （ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 411.已知向量(3,1)=a ,(2,5)=-b ，则32-=a b （ ）.A (2,7) .B (13,13) .C (2,7)- .D (13,7)-12.若函数()35191x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，则()f x 的最大值为 （ ） .A 6 .B 7 .C 8 .D 913.直线a ,b 是不同的直线，平面α,β是不同的平面，下列命题正确的是 （ ）.A 直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a ∥直线b.B 直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线a ∥直线b.C 直线a ∥直线b ,直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β,则平面αβ∥ .D 直线a ∥直线b ,直线a ⊄平面α，直线b ⊂平面α,则直线a ∥平面α14．过点(0,1)并且与直线23y x =-+垂直的直线方程是 （ ）.A 210x y --= .B 220x y -+= .C 210x y -+= .D 220x y --=15. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青 年职工为7人，则样本容量为 （ ）.A 35 .B 25 .C 15 .D 716. 从1,2,3,4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是 （ ）.A 12 .B 13.C 14 .D 16 17. 已知(1,0)A ，(3,4)B ，M 是线段AB 的中点，那么向量AM 的坐标是 （ ）.A (1,2) .B (1,2)-- .C (2,1) .D (2,1)--18. 在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为 （ ）.A 30 .B 45 .C 120 .D 15019. 如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图 （或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半 径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ( ).A π .B 3π.C 2π .D π+20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是 （ ）.A.B 4 .C 8 .D 16俯视图侧（左）视图正（主）视图21. 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =, 则AC AD ⋅= ( ).A 1 .B.C 2 .D 022．一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安 局恰好能办理护照的概率是 （ ）.A 13.B 34.C 58.D 4523. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，当*n ∈N 时，*()f n ∈N ．若[()]3f f n n =，其中*n ∈N ，则(1)f = （ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 124. 某同学为研究函数22()11(1)f x x x（01x ）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的 正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点， 设CPx ，则()APPF f x . 则参考上述信息，得到函数()4()9g x f x 的零点的个数是 （ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 325. 某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下： A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为 ( ) （注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内）.A 1000元 .B 1200元 .C 1400元 .D 1500元第二部分 解答题 （共25分）26. （本小题满分6分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 为底面ABCD 的对角线，E 为D D 1的中点.（Ⅰ）求证：1D B AC ⊥； （Ⅱ）求证：1D B AEC 平面∥.1A27．（本小题满分6分）已知函数()sin f x x =，x ∈R ，点(P -是角α终边上一点，[0,2]α∈π （Ⅰ）求()f α的值；（Ⅱ）设()()()g x f x f x α=++，求)(x g 在[0,]2π上的最大值和最小值. 28. （本小题满分6分）已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=. （Ⅰ）求圆心C 的坐标及半径r 的大小；（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M ．N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．29. （本小题满分7分）某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为：25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈.其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.（Ⅰ）若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （Ⅱ）规定每天中()f x 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？数学试题答案26.证明：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中底面ABCD 是正方形. 所以 AC BD ⊥.又因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱， 所以1DD ⊥底面ABCD . 又AC ⊂底面ABCD ， 所以1DD AC ⊥. 因为AC BD ⊥，1BDDD D =，1,BD DD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD . 又因为1BD ⊂平面1BDD ，所以1AC BD ⊥. …………………3分 （Ⅱ）因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点. 又因为E 为1DD 中点， 所以EO 为1BDD ∆的中位线. 所以1EO BD ∥.又EO ⊂平面EAC ，1BD ⊄平面EAC ，所以1//D B 平面AEC . …………………6分 27. 解：（Ⅰ）因为点(P -是角α终边上一点，所以2r =，所以sin y r α==()sin f αα=. …………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin 2α=,1cos 2α=-,[0,2]α∈π. 所以23απ=.1A所以()()()g x f x f x α=++2sin()sin 3x x π=++1sin sin 2x x x =-++1sin 2x x =sin()3x π=+ 因为[0,]2x π∈, 所以336x ππ5π+. 所以，当32x ππ+=，即6x π=时，()g x 的最大值为1；当36x π5π+=，即2x π=时，()g x 的最小值为12. …………………6分28.解：（Ⅰ）因为226440x y x y +-++=，所以22(3)(2)9x y -++=，所以圆C 的圆心坐标为(3,2)-,半径为3. …………………2分 （Ⅱ）设圆心C 到直线1l 的距离为d .由圆C 圆心是(3,2)-，半径为3，及垂径定理得4，解得d =.注意到圆心(3,2)-到点(2,0)P ，所以P 为MN 中点. 所以，以MN 为直径的圆Q ，即为以(2,0)P 为圆心半径为2的圆.所以圆Q 的方程为22(2)4x y -+=. …………………4分 （Ⅲ）若过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则直线2l 必过圆心(3,2)-，所以220232l k --==--，所以直线10ax y -+=的斜率为12，所以12a =.所以直线10ax y -+=方程为1102x y -+=,即220x y -+=.计算圆心(3,2)-到直线220x y -+=的距离13d =>，所以，不存在实数a 使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB . ……………6分29.解：（Ⅰ）当12a =时，则251()log (1)222f x x =+-+，当该地的空气污染指数最低时，即()2f x =时，251log (1)02x +-=.所以121255x +==，解得4x =.所以一天中，4点时该地区的空气污染指数最低. …………………2分 （Ⅱ）设25log (1)t x =+,()21g t t a a =-++，[0,1]t ∈，则当024x 时，01t ，即310,()11,t a t a g t t a a t -++⎧=⎨++<⎩显然()g t 在[0,]a 上是减函数，在(,1]a 上是增函数， 则max ()max{(0),(1)}f x g g =. 因为(0)31g a =+，(1)2g a =+，若(0)(1)21g g a -=-，解得12a >， 若(1)(0)210g g a -=-+，解得12a .所以max 120,2()1311,2a a f x a a ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过3，即()3f x .② 当102a<时，5222a <+，符合要求； ② 当112a <<时，由313a +≤,得23a ，故1223a <.综上所述，调节参数a 应控制在2(0,]3内. …………………7分。