sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
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三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件 (x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出 y (x)
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为
x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
例
2.
求z
x2
x
y
y 2
的最大值和最小值.
1
解
由
( x2 y2 1) 2x( x y)
zx
( x2 y2 1)2
0,
解： 设所获得利润为L，
L 5Q 2x y 100 5x2 48x 10 y 2 24 y
收入
成本
• L 5Q 2x y 100 5x2 48x 10 y 2 24 y
Lx 10x 48 0
Ly 20 y 24 0
x 4.8
y 1.2
有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一 驻点。所以函数在驻点处取得最大值。 最大利润为：L（4.8 1.2）=229.6 万元
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
z f x, y x2 y4 x y
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,
y
x y6
D
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
z f x, y x2 y4 x y
y
解方程组
x y6
D
fx( x, y) 2xy(4 x f y( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
o
x
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
多元函数的最值应用
一、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大) 值
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1、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
• 例3：某工厂生产某种产品需要两种原料A、B. 单价分别为 2万元/吨 和 1万元/吨。已知该产 品产量Q（单位：吨）与A、B两种原料的投入 量 x, y有如下关系： Q 20 x2 10x 2 y2 5y
且该产品的出售价为5万元/吨，试确定两种 原料A、B 的投入量，使获得利润最大。
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
例 1. 求二元函数
z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值.
解 如图,
z f x, y x2 y4 x y
zy
(x2
y2 1) 2 y( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
因为lim x
x2
x
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
步骤Ⅰ 构造函数 F(x, y,) f (x, y) (x, y)
（为待定常数）
步骤Ⅱ 解方程组
Fx Fy
fx (x, y) x (x, y) 0 f y (x, y) y (x, y) 0
F
(x,
y)
0
求出实数解(x0,y0)和 ; 步骤Ⅲ 判别求出的点(x0,y0)是否为极值点(通常由实际问
为
1 (24 2x 2x cos
2
) x sin
24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(DLeabharlann :0x12,
0
2
)
x 24
x
24 2x
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A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(D:
0
x
12,
0
2
)
令
Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin2 ) 0
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2．求条件极值的方法
（1）代入法：将条件代入函数，化为无条件极 值问题来解。
（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）
（2）Lagrange乘数法：构造辅助函数，化为无
条件极值问题。
Lagrange乘数法求z=f(x,y)在满足条件(x,y)=0
时的极值，方法为：
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
（无条件极值）
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例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积