辅导讲义――直线方程
围是___________
1、五种直线方程：
名称
已知条件 示意图
方程
使用范围
点斜式 点P (x 0，y 0)和斜率k
斜率存在
斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b
斜率存在
两点式
P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，
y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2
斜率存在且不为0
截距式
在x ，y 轴上的截
距分别为a ，b 且ab ≠0
斜率存在且不为0，不
过原点
一般式
在平面直角坐标系中，
任何一条直线都可以用一般式方程表示
2、直线的截距：
（1）直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标．
（2）直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ，0)的横坐标．
注意：(1)截距不代表距离，它是可正可负的.
(2) 每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.
[例1] 经过点（4，2）平行于x 轴的直线方程为__________.
[巩固1] 一条直线过点（2，0），且与直线y=x+8在y 轴有相同的截距，则该直线的方程为____________________.
[巩固2] 已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距为-3，则直线m 的
知识模块2直线方程 精典例题透析
题型一：求直线的倾斜角与斜率
[例]如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.
[巩固]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
题型二：三点共线问题
[例]求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．
[巩固]已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．
题型三：求直线方程
[例1]三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．
[巩固]写出下列直线的斜截式方程．
（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3；
（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
（3）倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.
[巩固]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．（1）l在x轴上的截距为－3；
（2）斜率为1.
题型五：直线方程的综合应用
[例]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
[巩固]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件__________.
2．直线x sin π7＋y cos π
7
＝0的倾斜角α是_______.
解析 ∵tan α＝－sin π
7cos
π7＝－tan π7＝tan 6
7π，
∵α∈[0，π)，∴α＝6
7
π.
3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是_______________.
解析 ∵直线的斜率k ＝－1
a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．两条直线l 1：x a －y
b ＝1和l 2：x b －y
a
＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y
－a
＝1.
假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．
5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________.
解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.
6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫
2π3，π，则k 的取值范围是__________．
答案 [－3，0)∪⎣⎡
⎭
⎫
33，1
解析 当π6≤α<π4时，3
3≤tan α<1，
∴
3
3
≤k <1. 夯实基础训练
当
2π
3
≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡
⎭
⎫
33，1∪[－3，0)．
7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1
2
)∪(0，＋∞)
解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；
当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，
解得－1<a <－1
2
或a <－1或a >0.
综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－1
2
)∪(0，＋∞)．
8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16
解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y
b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，
所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.
根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.
9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
（1）过定点A (－3,4)；（2）斜率为1
6
.
解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k －3,3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4
k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－8
3
.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝1
6
x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB
的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－3
3
，
所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33
x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝
⎛⎭
⎪
⎫m －3n 2，m ＋n 2，
∴xy ＝3y －34y 2＝3
4(－y 2＋4y )
＝3
4
[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫
32，2时，xy 取最大值3.
15．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，
如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．。