考点突破每日一练（25）万有引力定律应用的新情景问题、组合场的综合问题
1．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，此时该天体就变成了一个黑洞．已知太阳的质量为M ，光速为c ，第二宇宙速度是第一宇宙速度的2倍，若太阳演变成一个黑洞，其密度ρ至少达到( )
A.c 612πG 3M 2
B.3c 6
32πG 3M
2 C.3c 616πG 3M 2 D.c 6
16πG 3M
2 2．同重力场作用下的物体具有的重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有一样的引力势能．若取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心的距离为r 时的引力势能为E p ＝－G
m 0m
R
(G 为引力常量)，设宇宙中有一个半径为R 的星球，宇航员在该星球上以初速度v 0竖直向上抛出一个质量为m 的物体，不计空气阻力，经t 秒后物体落回手中，则下列说法不正确的是( ) A ．在该星球表面上以2v 0R
t
的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面
B ．在该星球表面上以2v 0R
t
的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 C ．在该星球表面上以2v 0R
t
的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面
D ．在该星球表面上以2
v 0R
t
的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 3．我国航天事业取得了突飞猛进的发展，航天技术位于世界前列，在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送操作指令到接收到卫星操作信息需要的时间为t (设卫星接收到操作信息立即操作，并立即发送已操作信息回中心)，测得该卫星运行周期为T ，地球半径为R ，电磁波的传播速度为c ，由此可以求出地球的质量为( ) A.π2
8R ＋ct
3
2GT 2 B.
4π2
R ＋ct 3
GT 2
C.π
2
2R ＋ct
3
2GT
2 D.
π
2
4R ＋ct
3
GT 2
4．如图所示，电压为U 的两块平行金属板MN ，M 板带正电．x 轴与金属板垂直，原点O 与N 金属板上的小孔重合，在O ≤x ≤d 区域存在垂直纸面的匀强磁场B 1(图上未画出)和沿y 轴负方向大小为E ＝23U
3d
的匀强电场，
B 1与E 在y 轴方向的区域足够大．有一个质量为m ，带电荷量为q 的带正电粒子(粒子重力不计)，从靠近M
板内侧的P 点(P 点在x 轴上)由静止释放后从N 板的小孔穿出后沿x 轴做直线运动；若撤去磁场B 1，在第四象限x >d 的某区域加上左边界与y 轴平行且垂直纸面的匀强磁场B 2(图上未画出)，为了使粒子能垂直穿过x 轴上的Q 点，Q 点坐标为(7
2
d,0)．求：
(1)磁感应强度B 1的大小与方向； (2)磁感应强度B 2的大小与方向；
(3)粒子从坐标原点O 运动到Q 点所用的时间t .
参考答案
1．B [v Ⅱ＝2v Ⅰ＝2GM
R
＝c
得R ＝2GM c
2
ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3c 6
32πG 3M 2
.]
2．C [设该星球表面附近的重力加速度为g ′，物体竖直上抛运动有：v 0＝
g ′t
2
，在星球表面有：mg ′＝G m 0m
R 2，设绕星球表面做圆周运动的卫星的速度为v 1，则m v 21
R ＝G m 0m R
2，联立解得v 1＝
2v 0R
t
，A 正确；2
v 0R
t
>2v 0R
t
，
B 正确；从星球表面竖直抛出物体至无穷远速度为零的过程，有12mv 22＋E p ＝0，即12mv 22＝G m 0m
R ，解得v 2＝2
v 0R t
，C 错误，D 正确]
3．C [卫星离地的高度为ct 2，运行轨道半径为R ＋ct
2，则G
Mm R ＋
ct
2
2
＝m (R ＋ct 2)(2πT )2
，由此求得地球质量
M ＝
π
2
2R ＋ct
3
2GT
2]
4．(1)
1d
2Um 3q ，方向垂直纸面向里 (2)2
d
2Um 3q ，方向垂直纸面向里 (3)(1＋3
6
π)d 2m
qU
解析 (1)设粒子从O 点穿出时速度为v 0， 由动能定理得：qU ＝12mv 2
得v 0＝
2qU
m
由于粒子在电磁场中做直线运动，粒子所受电场力与洛伦兹力平衡，有qv 0B 1＝qE
(2)粒子在0≤x ≤d 区域的电场中运动时间t ＝d v 0
设粒子离开电场时偏向角为θ，有
v y ＝at a ＝qE m
tan θ＝v y v 0＝33
θ＝30°
粒子离开电场时速度大小v ＝
v 0
cos θ
＝
23
3
v 0 依题意，粒子运动轨迹如图所示，设在磁场中运动半径为r ，可得
FO ′＝2r
2r ＋r ＝OQ －OF ＝3d 解得r ＝d
由洛伦兹力作为向心力：qvB 2＝mv 2
r
得B 2＝
2
d
2Um
3q
，方向垂直纸面向里 (3)由几何关系可知O 到磁场左边界在x 轴上的距离为L ＝2.5d －r cos 60°＝2d 粒子从O 到磁场左边界所用时间t 1＝L v 0
＝d 2m qU
在磁场中运动时间t 2＝13T ＝2πm 3qB 2＝
πd
22m 3qU
总时间t ＝t 1＋t 2＝(1＋3
6
π)d 2m qU。