2.2 传递函数及典型环节传递函数
经典控制理论中广泛使用的系统分析设计方法 －频率法，不是直接求解微分方程，而是采用与微 分方程有关的另一种数学模型－传递函数，间接地 分析系统结构参数对系统输出的影响，使系统分析 问题大为简化。另一方面，可把对系统性能的要求 转化为对系统传递函数的要求，使综合设计问题易 于实现。 更重要的是，传递函数可以用框图表示和化简， 求取比微分方程更直观、方便。
为系统放大倍数。
2.2.3 典型环节及其传递函数
由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因 子，即：
1 1 1 K , s 1, s 2 s 1, , , 2 2 s Ts 1 T s 2Ts 1
2 2
一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种 因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环 节分别称为：
5 二阶振荡环节
在时间域内，输出函数是二阶微分方程： 2 T x o (t ) 2T xo (t ) xo (t ) xi (t ) 振荡环节的传递函数为： n 2 1 1 T G( s ) 2 2 2 2 n T s 2 Ts 1 s 2n s n 式中ξ－阻尼比 n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能 量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数,质量 －弹簧－阻尼系统等。
齿轮传动副
U o ( s) R2 G( s) K U i ( s) R1
N o ( s) z1 G( s) K N i ( s) z2
2.2.3 典型环节及其传递函数 2 一阶惯性环节 输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的 环节称为一阶惯性环节: T x (t ) x (t ) x (t )
2.2.3 典型环节及其传递函数
3 积分环节
输出量与输入量的积分成比例的环节，称为积分环 节。 积分环节的传递函数为：
xo (t ) k xi (t )dt
特点：输出量取决于输入量对时间的积累过程。 当输入作用一段时间后消失，输出量仍将保持在已 达到的数值，故积分环节具有记忆功能。常用来改 善控制系统的稳态性能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟 计算机中的积分器等。
2.2.3 典型环节及其传递函数
6 纯时间延迟环节
在时间域内，输入量加上以后，输出量要等待一段 时间后，才能不失真地复现输入的环节。 延迟环节的传递函数为： 式中
xo (t ) xi (t )
s
－纯延迟时间
G( s) e
特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固 定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制等。
2.2.3 典型环节及其传递函数
比例环节：
惯性环节：
K
1 Ts 1
一阶微分环节： s+1 二阶微分环节： 2s2 2 s 1
积分环节： 振荡环节：
1 T 2 s 2 2Ts 1
1 s
2.2.3 典型环节及其传递函数 实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复 现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：
2.2.2 传递函数的极点和零点
零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递 函数的零、极点分布图。图中，零点用“○”表示，极点用 “×”表示。
一般地，零点和极点可为实数（包括零）或复数。若为 复数，必共轭成对出现，这是因为系统结构参数均为正实数 的缘故。
2.2.3 典型环节及其传递函数
kTs G( s) Ts 1
其传递函数是微分环节的传递函数与惯性环节的 传递函数相乘，当|Ts|<<1时，可近似得到理想微分 环节.
2.2.3 典型环节及其传递函数
3 微分环节
C
无源微分电路
1 ui (t ) i (t )dt i (t ) R C uo (t ) i (t ) R
2.2 传递函数及典型环节传递函数
线性定常系统的微分方程为：

a0 xo
( n)
(t ) a1 xo
( n 1)
(t ) an1 x o (t ) an xo (t ) (t ) bm1 x i (t ) bm xi (t )

b0 xi
( m)
(t ) b1 xi
xo (t ) xi (t )
微分环节的传递函数为：
G( s) s
特点： 输出是输入的导数，即输出反映了输入 信号的变化趋势，即也等于给系统以有关输入变化 趋势的预告，故常用来改善控制系统的动态性能。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函 数即为微分环节。
2.2.3 典型环节及其传递函数
k G( s) k-积分环节的时间常数。 s
2.2.3 典型环节及其传递函数
3 积分环节
如：有源积分网络
i2(t)
ui(t)
i1(t)
R a +
C
uo(t)
du o (t ) RC ui (t ) dt
1 1 G( s ) , T RC RCs Ts
2.2.3 典型环节及其传递函数
2.2.3 典型环节及其传递函数 2 一阶惯性环节
如：弹簧-阻尼系统
K xi(t)
dxo (t ) kxo (t ) kxi (t ) dt
k 1 D , T Ds k Ts 1 k
D
D
xo(t)
G ( s)
弹簧-阻尼系统
2.2.3 典型环节及其传递函数 3 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分 环节:
( m 1)
则在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，可得系 统传递函数的一般形式：
X o s b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) (n m) n n 1 X i s a0 s a1s an1s an
2.2.1 传递函数的性质 性质1 传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参 数所决定，与输入信号和输出信号无关。这种 函数关系在信号传递的过程中得以实现，故称 传递函数。 性质2 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关 系，如果是多输入多输出系统，可用传递函数矩 阵来表示。
G( s ) RCs Ts , T RC RCs 1 Ts 1
ui(t)
i(t)
R uo(t)
无源微分网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之 为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为理想微分 环节。
2.2.3 典型环节及其传递函数
3 微分环节
xo (t ) xi (t ) xi t 2 dxi t 2 d xi t xo (t ) 2 xi t 2 dt dt

传递函数分别为: 一阶微分环节 G(s) S 1 二阶微分环节 G(s) 2 S 2 2 S 1
与微分环节一样,一阶微分环节和二阶微分环节在物理 系统中也不会单独出现,在其组成中必然包含有惯性环节或 振荡环节。系统中引入一阶微分环节和二阶微分环节主要是 用于改善系统的动态品质。
2.2.1 传递函数的性质 性质6 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位 脉冲输入时的输出响应。
X i (s) L[ (t )] 1
xo (t ) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)] L1[G(s)]
X o ( s ) e s X i ( s )
或：G(s) es 因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典
型环节——延迟环节 es 。
2.2.3 典型环节及其传递函数
1 比例环节
在时间域内，输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 且两者成比例关系，称为比例环节。又叫无惯性环 节。
xo (t ) kxi (t )
环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件 的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型 环节。 这样,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所 组成，从而给建立数学模型，研究系统特性带来方 便，使问题简化。
2.2.3 典型环节及其传递函数 系统的传递函数可以写成：
b c
G( s)
2.2.3 典型环节及其传递函数
6 纯时间延迟环节
延迟环节与惯性环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅
由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；
延迟环节从输入开始之初，在0 － 时间内,
没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。
2.2.3 典型环节及其传递函数
2 2 K ( i s 1) ( s 2 s 1)
s v (T j s 1) (Tk2 s 2 2 k Tk s 1)
j 1 k 1
i 1 d
1 e
e b0 b 1 c 1 d 式中， K 2 T j Tk2 a0 i 1 i 1 j 1 k 1
j 1
则：
m
Z i (i 1,2, , m) 为传递函数的零点
Pj ( j 1,2, , n) 为传递函数的极点
D s 0 称为系统的特征方程，其根（极点）称为系统 特征根。特征方程决定着系统的稳定性。
零点和极点的数值完全取决于系统的参数b和a，即 取决于系统的结构参数。
o 0 i
一阶惯性环节的传递函数为：
1 G( s) Ts 1
式中 T-时间常数，表征环节惯性，和结构参数有关。 特点：含一个储能元件,当输入量突然变化时,由于物理状 态不能突变,输出量也就不能立即复现,而是按指数规律逐渐变 化,故它的输出量的变化落后于输入量。