模块二极限（应用）Ⅰ经典习题一．连续、间断点以及间断点的分类1、设，在连续，则2、“在点连续”是在点处连续的（）条件(A) 必要非充分(B) 充分非必要(C) 充要(D)既非充分又非必要3、设函数在区间上连续，则是函数的( )(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点(C) 无穷间断点(D) 振荡间断点4、函数在上的第一类间断点是5、函数的间断点的个数为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)46、设函数则( )（A）都是的第一类间断点.(B)都是的第二类间断点.(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点.7、求函数的间断点，并指出类型。

8、求函数所有间断点及其类型二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、则在处( )(A) 极限不存在(B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导(D)可导10、在可导且为奇函数，则11、设函数在内有定义且，则在处（）（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导且（D）可导但12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性13、设在的邻域内有定义，，且，则在处( )（A）可导，且（B）可导，且（C）可导，且（D）不可导14、设可导，则当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）(A) 在处不可导（B）在处可导, 且（C）在处可导, 且（D）在处可导,且2．导数的定义与极限的计算16、设一阶可导，且，则17、设二阶连续可导，且则18、在处可导，且，则19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）20、设, 则21、设可导, 则22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为23、已知函数在处可导，，求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．函数可导的充要条件24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价（1）极限存在（2）极限存在（3）极限存在（4）极限存在（5）极限存在（6）极限存在（7）极限存在（8）极限存在三．渐近线25、曲线的渐近线有（）(A)1条(B)2条 (C)3条(D)4条26、曲线渐近线的条数为（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)327、求下列曲线所有的渐近线。

（1）（2）（3）四．多元函数微分学的概念28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值（1）（2）（3）（4）（5）（6）29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。

（1）（2）（3）（4）30、连续函数满足，则________。

Ⅱ参考答案一．连续、间断点以及间断点的分类1、【答案】：.【解析】：在连续由于，，即.2、【答案】：(B)【解析】：在连续在连续（）但在连续推不出在连续，如，在连续，但在间断3、【答案】：(A)【解析】：在中，令当时，当时，因此，于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点4、【答案】：.【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，且，，根据间断点的定义知为跳跃间断点即为第一类间断点5、【答案】：(B)【解析】：易得的表达式：，由表达式得到的间断点为6、【答案】：(D)【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。

，为可去间断点所以为跳跃间断点。

8、【解析】：有间断点. 又.因为，所以为跳跃间断点.又，所以为可去间断点，且，所以为无穷间断点二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、【答案】：(C) 【解析】：，所以在处不可导，又由存在可得在右连续和左连续，既在连续10、【答案】：2(0)g '【解析】：因()g x 在0x =处可导，所以()g x 在0x =处连续，又()g x 是奇函数，所以(0)0g =，222001()0()(0)(0)lim lim x x x e x g x f x f x f x x→→-+--'==222220001()(0)1()(0)lim lim[1]lim 2(0)x x x x x e x g x g e g x g g x x x x →→→-+---'=⋅=+⋅=11、【答案】：（C ） 【解析】：显然，且所以在处连续，又由得，根据夹逼定理：，即12、【解析】：当0x ≠时，做变量代换u xt =得0()()xf u du x xϕ=⎰当0x =时，1(0)(0)(0)f dt f ϕ==⎰。

由于()f x 连续，且0()limx f x A x→=，可知(0)0f =。

故0(),0()0,0x f u du x x xx ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ 则当0x ≠时，'02()()()xxf x f u dux xϕ-=⎰；当0x =时，'2()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-====⎰。

故02'()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰下面再讨论'()x ϕ在0x =处的连续性：由于''0220000()()()()lim ()limlim lim (0)22xxx x x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕϕ→→→→-==-=-==⎰⎰ 可知'()x ϕ在0x =处连续 13、【答案】：（B ） 【解析】：而 所以14、【答案】：（A ） 【解析】：因为可导，所以可微分，即，所以是的高阶无穷小.15、【答案】：（D ） 【解析】：.,所以（注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导）.2．导数的定义与极限的计算16、【答案】：2【解析】：222000(1)1(1)1(1)1lim lim lim ln ()ln[1(()1)]()1x x x x x x f e f e f e f x f x f x →→→------==+--2220(1)(0)11lim 2()(0)1x x x x f e f e f x f e xx→---=⋅⋅=--17、【答案】：2e【解析】：由0()lim1,(0)0,(0)1x f x f f x→'=== 于是()()22001lim lim f x x f x xx x x e e e e x x -→→--=2000()()1()lim lim lim 222x x x f x x f x f x e x x →→→'''--==== 18、【答案】：()()f a f a e'【解析】：设()0f a >，原式可化为：1lim [ln ()ln ()]1()lim[]()x x f a f a x xx f a x e f a →∞+-→∞+=而101ln ()ln ()ln ()ln ()()()lim lim [ln ()]1()()x ax ax t xf a f a f a t f a f x f a x f x t f x f a x==→∞=→+-''+-'====于是所求极限为()()f a f a e'19、【答案】：（A ） 【解析】：因为故20、【答案】：31=k 【解析】：)('31)()(lim 0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf =所以31=k 21、【答案】：)(')(0x f n m +【解析】：解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+xn x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +22、【答案】：【解析】：由极限的运算法则和相关公式易得。

从而，由于()f x 在0x 处连续，所以。

由得()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为23、【解析】：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3．函数可导的充要条件24、【解析】：（1）等价，（2）不等价，（3）等价，（4）不等价，（5）不等价，（6）不等价，（7）等价，（8）等价。

三．渐近线25、【答案】：(D)【解析】：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线. 26、【答案】：(C)【解析】：垂直渐近线，斜渐近线.27、【解析】：（1）水平渐近线，斜渐近线；（2）垂直渐近线，斜渐近线；（3）垂直渐近线，斜渐近线。

四．多元函数微分学的概念28、【解析】：（1），由夹逼定理可得。

（2）由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以。

（3）由重要极限可得。

（4）取特殊路径可知极限不存在。

（5），由夹逼定理可得。

（6）取特殊路径和可得极限不存在。

29、【解析】：（1）连续，偏导数存在（），但不可微。

（2）连续，偏导数存在（），但不可微。

（3）连续，存在，存在，不可微。

（4）连续，偏导数存在（），也可微。

29、【解析】：从极限式中凑出全微分的定义可知（资料素材和资料部分来自网络，供参考。

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