故 x + 2 + 2 − x + t > 1有解，令 y= x + 2 + 2 − x ( x ∈[−2, 2]),
2
( ) y2 =4 + 2 4 − x2 ∈[4,8], ∴ y ∈ 2, 2 2 , ∴t ∈ 1− 2 2, +∞ .
22. （10 分）
解析:
（1）因为 m = 0 ，所以
当 30 ≤ x ≤ 210 时,
f
(x)
=
−
1 3
x2
+
70x
开口向下且对称轴为
x
= − 70
2
×
−
1 3
= 105
,故此
时 f (= x) 最大值为 f (105) −= 1 ×1052 + 70×105 3675 . 3
综上,当车流密度为 105 辆/小时车流量达到最大值 3675
21. （12 分）
18. （12 分）
解析：（1）因为 x > 0, y > 0, 所以 2 = x + 2 y ≥ 2 x ⋅ 2 y ⇒ 2xy ≤ 1 ⇒ xy ≤ 1 ，（当且仅当 2
=x 1,=y 1 时取等号），所以 xy 的最大值为 1 ；
2
2
（2）因为
x
>
0,
y
>
0,
所以
1 2
⋅
2
⋅
(
2 x
+
1 y
)
A．[0, 2]
B．
−
1 2
,
1 2
5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
A． y = x x
B． y = −x3
C． [−1,1]
C． y= x + 1
6．若函数 f (x) 满足 f (3x + 2) = 9x + 8 ，则 f (x) 的解析式是
D． [1, 5]
D． y = 1 x
A． f (x=) 9x + 8
D． ∃x ∈ R ， 2x2 +1≤ 0
{ } { } 2. 若 A= y|y =4 − x2 , B =x|y =4 − x2 ，则
A． A = B
B． A ∩ B =∅
3. 函数 y＝(x3－x)2|x|的图象大致是
C． A ⊆ B
D． B ⊆ A
A
B
C
D
4. 已知函数 f ( x) 的定义域为[0, 2] ，则 f (2x +1) 的定义域为
（二）附加题： 23．（10 分）
求正实数 k 的最大值，使任意实数 x, y, z, 不等式 x4 + y4 + z4 + x2 yz + xy2 z + xyz2 − k(xy + yz + zx)2 ≥ 0 成立.
试卷第 4 页，总 4 页
命题人：彭国富 周颖 审题人：周颖 彭国富
重庆育才中学 2023 届高一（上）半期考试
f
( x) =x2
−3
x
=
x2 x2
− 3x, x ≥ 0
，
+ 3x, x < 0
因为函数 f ( x=) x2 − 3x 的对称轴为 x = 3 ，开口向上；所以当 0 ≤ x < 3 时，
重庆育才中学高2023届高一（上）半期考试 +答案
数学试题
2020.11
注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。 3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效。 4. 做选考题时，按要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
16．设函数 f ( x) =ex − 4 − 2x ，函数 g ( x) = mx ，若对于 ∀x1 ∈[0,1] ，总 ∃x2 ∈[1, 2]，使得 f ( x1 ) > g ( x2 )
恒成立，则实数 m 的取值范围是__________.
四、解答题：共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学参考答案
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。
1．D
2．C
3．B
4．B
6．B
7．A
8．D
9．BD
11．ABD 12．BC
5．A 10．AD
二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 8 3
14．[3, +∞)
15．
3 4
,1
16． (−∞, − 1) 2
D．①为真命题, ②为假命题
二、多项选择题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全 部选对得 5 分，部分选对地 3 分，错选不得分.
9．下列不等式，其中正确的是
A． a3 + b3 ≥ a2b + ab2 （ a ， b ∈ R ）
B． x2 + 3 > 2x （ x ∈ R ）
f
(x) 在区间 I 上是减函数，则称函数
f
( x) 是区间 I 上的
x
“H 函数”．对于命题：①函数 f ( x) =−x + 2
x 是 (0,1) 上的“H 函数”； ②
函数
g
(
x
)
=
1
2 −
x x
2
是 (0,1) 上的“H
函数”．下列判断正确的是
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为假命题, ②为真命题
13．计算
2
(−8) 3
×
1 2
−2
×
3
27−1
= __________.
14．函数 f ( x) = x2 − 2x − 3 的单调递增区间为__________.
(2 − 3a)x +1, x ≥ 1,
15. 已知函数 f (x) = ax , x < 1
单调递减，则实数 a 的取值范围为__________.
由韦达定= 理可得= 22b+ b 2= a = ⇒ ba
3 1
经检验符合题意.
1
（2）由（1）可知 3x −1 ≤ 1 ⇔ (2x +1)(x − 2) ≤ 0且x ≠ 2 x−2
∴原不等式的解集为[− 1 , 2) 2
20．（12 分）
解析：（1）由题意可知, 当 0 ≤ x ≤ 30 时 v(x) = 60 ,当 x = 210 时, v(x) = 0 ,又当
（一）必考题：共 70 分。
17．（10 分）
若集合 A =
x
|
2
x
>
1 , B =
{x | x ≤ m, m ∈ R}，试写出：
4
（1） A ∪ B =R 的一个充要条件；
（2） A ∪ B =R 的一个必要不充分条件.
18．（12 分）
已知 x > 0, y > 0, x + 2 y = 2 .
21．（12 分）
已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意 x, y ∈ R 都有等式 f ( x + y=) f ( x) + f ( y) −1 成立，且当 x > 0 时，有 f (x) >1. （1）求证：函数 f ( x) 在 R 上单调递增；
( ) ( ) （2）若 f (3) = 4 ，关于 x 不等式 f x + 2 + t + f 2 − x > 3 有解，求 t 的取值范围.
（1）求 xy 的最大值；
（2）求
2 x
+
1 y
的最小值.
19．（12 分）
已知关于 x 的不等式 x2 − ax + 2 < 0 的解集为{x | b < x < 2} .
（1）求 a, b 的值； （2）解关于 x 的不等式 ax − b ≤ 1.
x−2
试卷第 3 页，总 4 页
20．（12 分） 重庆育才中学高一年级某“博学研究小组”经过调查发现：提高鹅公岩大桥的车辆通行能力可有效改善交通状况， 在一般情况下，桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上 车辆的数量）的函数.当桥上的车流密度不小于 210 辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不
A． f ( x) 的图像关于 y 轴对称
Hale Waihona Puke B． f ( x) 的图像关于原点对称
C． f ( x) 的值域为 (−1,1)
D． ∀x1, x2 ∈ R ，且 x1
≠
x2 ，
f
( x1 ) −
x1 −
f ( x2 )
x2
<
0 恒成立
试卷第 2 页，总 4 页
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
超过 30 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明：当 30 ≤ x ≤ 210 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次
函数.
（1）求函数 v(x) 的表达式； （2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） f (x)= x ⋅ v(x) 可以
达到最大，并求出最大值.
30 ≤ x ≤ 210 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数,故设 v(x=) ax + b ,所以