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《解三角形》题型归纳
【题型归纳】
题型一正弦定理、余弦定理的直接应用
例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B
A C +=．
(1)求cos B
(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．
【答案】（1）15
cos 17B =（2）2b =．
【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B
B =，故sin 4(1cos )B B =-．
上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，
解得cos 1B =（舍去），15
cos 17B =.
（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1
4
sin 217ABC S ac B ac ∆==．
又2ABC S ∆=，则17
2ac =．
由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )
b a
c ac B a c ac B =+-=+-+17
15
362(14217=-⨯⨯+=．
所以2b =．
【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用
【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1
π
2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=
.
2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23
π，则S △ABC ＝________.【答案】34
【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34
.【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列
(1)若2b c ==，求ABC ∆的面积
(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ∆的形状
【答案】(1)32(2)等边三角形
【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1)
因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2)
得B ＝3π，
b 2＝a 2＋
c 2－2accosB (3)所以3
cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323
sin 2421sin 21=⨯⨯==∆πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4)
由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac
再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。

因此a ＝c 从而A ＝C (5)
由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝
C ＝3
π。