2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1212ii +=-（ ）A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z，≤，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（ ）4．已知向量a b ，满足，1a =，1ab ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（ ）A ．2y x=± B ．3y x=± C ．22y x =±D ．32y x =±6．在ABC △中，5cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ） A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．56C ．55D ．2210．若()cos sin f x x x=-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题。
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分） 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，153-=S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型①：30.413.5y t =-+：根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型②：9917.5y t=+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k ＞的直线l 与C 交于A B ，两点。
8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A B ，且与C 的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．21．（12分） 已知函数()2x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在()0+∞，只有一个零点，求a ．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一部分计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()12，，求l 的斜率．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DABBAABCCACD12.解：41,236322=∴+==e c a c c PF ，二、填空题 13.x y 2= 14. 9 15.21- 16.π24016.设母线长为a,a a a 22OA 8055ASB sin 21S 22ABS ==⇒=∠=∆，所以 ππ2402221S 2==⋅=a C a 侧 三、填空题17.解：（1）由153-=S 可得：15331-=+d a ，所以2=d ，所以92-=n a n（2）16-S 4,82)(n 21取最小值时，当=-=+=n n n na a S n n18.解：（1）①1.22619*5.134.30y ^=+-=，5.2569*5.1799y ^=+=（2）对于模型①，当年份为2016年时，1.19917*5.134.30y ^=+-=对于模型②，当年份为2016年时，5.2217*5.1799y ^=+=比较而言，②的准确度高，误差较小，所以选择②19.解：(1)∵F （1,0），设直线)1(-=x k y ，联立0)42()1(422222=++-⇒⎩⎨⎧-==k x k x k x k y xy⎪⎩⎪⎨⎧=+=+142212221x x k k x x ，∵82AB 21=++=x x ，∴k=1,所以直线方程01=--y x（2）设AB 的中点为N （NN y x ,），设圆心为M （a,b ），所以圆的半径r=a+1因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=22322121y y y x x x N N ，所以MN 的方程为2)3(1+--=x y ，即05=-+y x 所以22222-b 3-a MN ）（）（）（a x -=+=，由垂径定理：2222AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=MN r 即：()2232161）（-+=+a a 解得：113==a a 或所以圆的方程为：16)2()3(22=-+-y x 和144)6()11(22=++-y x20.证明：连接BO ，因为AB=BC ，则BO ⊥AC ，所以BO=2又因为在△PAC 中，PA=PC=4，所以PO ⊥AC ，且32PO =，因为222PB OB PO =+，所以PO ⊥BO ，从而PO ⊥平面ABC ；（2）以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以OP 为z 轴，设B C B M λ=，B （2,0,0），C （0,2,0）A （0，-2,0）P （0,0,32），设M （x,y,0）,所以)0,2,2(,0,,2B M -=-=BC y x ）（，所以）（0,2,2-2M λλ设平面PAC 的法向量为)0,0,1(1=n ，设平面MPA 的法向量为),,(1112z y x n =，），（），，，（0,2-2-2-2MA 32-2-0PA λλ==所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅331330MA 0PA 22222z y x n n λλ因为二面角M PA C --为30︒，所以2330cos 21210=⋅⋅=n n n n 得=λ31 设PC 与平面PAM 所成角为θ，所以43PC PC sin 22=⋅⋅=n n θ21解：（1）当a=1,2)(,2)(,)('''2-=-=-=xx x e x f x e x f x e x f当单调递增单调递减，)(,2ln )(,2ln ''x f x x f x ><，所以02ln 22)2(ln )(''>-=≥f x f所以是单调递增在),0[)(+∞x f ，所以1)0()(=≥f x f（3）令00)(2=-⇒=a x e x f x ，令a x e x g x -=2)(，32)(x x e x g x）（‘-=当单调递减时，)(,0)(2'x g x g x <<，单调递增时，)(,0)(2'x g x g x >> 所以a e g x g -==4)2()(2min①当无零点时，)(,0)(4min 2x g x g e a >< ②当只有一个零点时，)(,0)(4min 2x g x g e a == ③0)(4min 2<>x g e a 时，22.（1）曲线C 的直角坐标方程：116422=+y x直线L 直角坐标方程：2)1(tan +-=x y α （2） 联立116422=+y x 与1cos 2sin x l a y l a=+⎧⎨=+⎩8)sin 4cos 8(sin cos 4222=-+++t t αααα）（ 所以2tan ,0sin cos 4sin 4cos 8022221-=∴=++=+ααααα得t t 23.（1）当1a =时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+=2,2621,21,42)(x x x x x x f ，所以不等式()0f x ≥的解集为{}32≤≤-x x（2）若()1f x ≤，则42≥-++x a x ，因为22+≥-++a x a x所以只需要6242-≤≥⇒≥+a a a 或综上：a 的取值范围为{}26≥-≤a a a 或。