M(e) O
0,
LO 常矢量
外力系对某轴力矩的代数和为零 ，则质系对该轴的动量矩为一常 数，例如
M x (F(e) ) 0
Lx=常量
例 1 水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用
铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结重为P的小
球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为 铅垂，系统绕z轴的角速度为 。如0 某瞬时此细线拉断
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
n
MO (Fi(i) )
i 1
MO (Fi(e) )
n
MO (Fi(i) ) 0
i 1
n
n
MO (Fi(e) )
ri
F(e) i
M(e) O
i 1
i 1
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
n
MO (Fi(i) )
i 1
MO (Fi(e) )
质点系相对质心动量矩定理
LO rC mvC LC
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
MC(e)
dLC dt
M
(e) C
maC R(e)
JO
m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
g
5．应用动量定理
mx X 0 XO
my Y
dpx
dt
X
e
dpy
dt
Y
e
dpz
dt
Z
e
m1r1 m2r2 YO m1g m2g W
所以轴承约束力为
例3 转动惯量分别为 J1 100 kg m2 和 J 2 80 kg m2 的两个飞轮分别
maCx F
maCy N mg
mC2 M Fr
N mg
F maC
在纯滚动（即只滚不滑）的条件下，有 aC r
mC2 M Fr F maC
Mr
aC
m(
2 C
r2)
欲使圆轮只滚动而不滑动，必须满足 F fN
Mr
C2 r 2
fmg
于是得圆轮只滚不滑的条件为
M fmg r 2 C2
mr2
sin
取s为质心的弧坐标
3 2
aC
g
s (R r) ,
aC
d 2s dt 2
3d 2s g 2dt 2 R r s 0
s s0 sin( nt ),
2 n
2g 3(R r)
t 0时, v v0, s 0得 : , s0 v0 n
质心轨迹的运动方程： s v0
MO (mv) r mv
d dt
MO
(mv)
dr dt
mv
r
d dt
(mv)
r
F
MO
(F)
d dt MO (mv) MO (F)
质点系动量矩定理
设质系内有n个质点，对于任意质点Mi有
d dt
MO
(mi vi
)
MO
(Fi(i)
)
MO
(Fi(e) )
,
i 1,2, n
n个方程的矢量和
n
2
)
YB
P
JC MC (F),
P g
l 2
12
YB
l 2
sin
X
A
l 2
cos
4．求解微分方程
1 4
P g
l 2
XA
l 2
cos
YB
l sin
2
P
l 2
sin
3g sin
2l
欲求杆在任意瞬时的速度，应做如下的积分运算
d d
d 3g sin d
2l
d 3g sin d
dLC dt
M
(e) C
dLC dt
MC(e)
质系相对质心的动量矩定理：在相对随 质心平动坐标系的运动中，质系对质心 的动量矩对于时间的一阶导数，等于外 力系对质心的主矩。
讨论
➢如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相 对质心的运动，则可分别用质心运动定理和 相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外 力系的关系。 ➢质系相对质心的运动只与外力系对质心的主 矩有关，而与内力无关。
后，杆AC与BD各与铅垂线成 角，如图所示。不计各
杆重量，求这时系统的角速度。
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些
力对z轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒.
开始时系统的动量矩为
Lz1
2
P g
a0
a
2
P g
a 2 0
细线拉断后的动量矩为
Lz1 lz2
2
P g
a 2 0
2
P g
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n
i 1
MO (Fi(e) )
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
L0
dLO dt
M
(e) O
质点系动量矩定理：质系对固定点的 动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
动量矩定理的投影形式
质系对于x，y，z轴的 动量矩等于质系中各 质点动量对于x，y，z 轴动量矩的代数和。
(a
l
sin
)2
(a
a2 l sin
)2
0
第三节 刚体绕定轴转动的微分方程
如图所示定轴转动刚体，若任意瞬时的角速度为，则刚
体对于固定轴z轴的动量矩为
Lz rimivi miri2 miri2
J z miri2 即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体 对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
应用质系对z轴的动量矩方程，得：
刚体绕定轴转动时的动量矩
将绕定轴转动的刚体看成一质点系，
则
Lz M z (mivi ) mivi ri miri ri
miri2 J z
Lz J z
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩阵等于刚 体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积
第二节 动量矩定理
质点动量矩定理：
质点对固定点的动量矩 对时间的一阶导数等于 作用于质点上的力对同 一点的力矩。
JC M C (F)
例4 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动，如图所 示。设轮的回转半径为 ，作用于圆轮上的力矩为M，圆轮 与地面间的静摩擦系数为f。求（1）轮心的加速度；（2）地面 对圆轮的约束力；（3）在不滑动的条件下力矩M的最大值。
解:圆轮的受力图如图所示。 列写圆轮的平面运动微分方程，有
r
应用刚体平面运动微分方程，求解动力学的两
类问题，除了列写微分方程外，还需写出补充
的运动学方程或其他所需的方程
例5均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后， 在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足 够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规
律。
解：设角 以逆时针方向
为正，取切线轴的正向如 图，并设圆轮以顺时针转 动为正，则图示瞬时刚体 平面运动微分方程在自然 轴上的投影式为
对于质心C用绝对速度计算动量矩并不方便，通常引入固结于 质心的平动参考系，用相对此参考系的相对速度计算质点系对 质心的动量矩由。速度合成定理有
vi vC vi
miri vC mrC vC 0
miri vC mrC vC 0
LCr ri mivi
LC LCr
质点系在绝对运动中对质心的动量矩，等于质 系在相对质心平动系的运动中对质心的动量矩。
两鼓轮对O 轴的转动惯量为JO，重为W，求鼓轮的角加速度和 轴承的约束力。
解：1. 以整个系统为研究对象； 2．系统所受外力的受力图如图，
3．系统的动量矩为
LO (JO m1r12 m2r22 )
4．应用动量矩定理
dLO dt
M O (F)
(JO m1r12 m2r22 ) m1gr1 m2 gr2
装在轴Ⅰ和轴Ⅱ上，齿数比为 z1 3 的两齿轮将转动从轴Ⅰ传到轴Ⅱ， z2 2
如图 (a)所示。轴Ⅰ由静止开始以匀加速度转动，10 秒后其角速度达到 1500 r/min 。求需加在轴Ⅰ上的转动力矩及两轮间的切向压力 P 。 已知 r1 10 cm ，不计各齿轮和轴的转动惯量。
解：分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ为研究对象，其受力如图（b）、（c） 所示。分别建立两轴的转动微分方程
MO (mv) r mv
质点对于O点的动量矩为矢量，它 垂直于矢径r与动量mv所形成的平 面，指向按右手法则确定，其大 小为
MO (mv) 2OMD mvd
➢质点对某轴的动量矩 质点的动量对固定点的动量矩在z轴上的投 影等于质点的动量对z轴的动量矩
MO (mv)z M z (mv) MO (mv)x M x (mv) MO (mv)y M y (mv)
间的关系 如图所示，质点系对于固定点O的矩为
LO ri mivi
z'
图中C为质点系的质心，有
ri rC ri
y'
ri '
x'
LO (rC ri) mivi
rC mivi ri mivi
mivi mvC LC ri mivi
LO rC mvC 心的动量 矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系