1- x 21- x 2x 2 - a 2 a 2 - x 2导数公式：全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式(tgx )' = sec 2x (ctgx )' = -csc 2 x (sec x )' = sec x ⋅ t gx (arcsin x )' =1(arccos x )' = - 1(csc x )' = -csc x ⋅ c tgx (a x )' = a x ln a(arctgx )' =11+ x 2(log a x )' =1x l n a(arcctgx )' = -11+ x 2基本积分表：⎰tgxdx = - ln cos x + C ⎰ ctgxdx = ln sin x + Cdx cos 2 x dx= ⎰sec 2xdx = tgx + C ⎰sec xdx = ln sec x + tgx + C⎰ sin 2 x = ⎰csc 2 xdx = -ctgx + C⎰ csc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctg x+C⎰sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ⎰csc x ⋅ ctgxdx = -csc x + C⎰ a2 + x2a dx=1a lnx -a + C ⎰a xdx =a xC ln a ⎰ x 2 - a 2 dx a 2 - x 2 2a x + a= 1 ln a + x + C 2a a - x ⎰ shxdx = chx + C ⎰chxdx = shx + C ⎰ dx = arcsin x + C ⎰dx = ln( x + x 2 ± a 2 ) + Ca 2 - x2a x 2 ± a 2π2 I n = ⎰sin 0 π2xdx =⎰cos nxdx = n -1 nI n -2dx = x 2 ⎰ dx = x 2 + a 2 + a 2 2 - a 2 2 a 2 ln(x + ln x + x) + C + C⎰ dx = + arcsin + C 2 ax 2 + a 2 x 2 + a 2 x 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2x 2 a 2 - x 2 ⎰ ⎰ + n ⎰三角函数的有理式积分：sin x =2u 1+ u 2 ， cos x = 1- u 2 ， 1+ u 2 u = tg x ， 2dx = 2du 1+ u 2一些初等函数：两个重要极限：e x - e- x双曲正弦: shx = limsin x = 12 x →0x双曲余弦: chx = e x + e- xlim(1+ 1)x = e = 2.718281828459045...双曲正切: thx =2 shx = chxe x - e - xe x + e - xx →∞xarshx = ln( x + archx = ±ln( x + x 2 +1） x 2 -1)arthx = 1 ln 1+ x2 1- x三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式：·和差化积公式：sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin βsin α + sin β = 2 s inα + βcosα - βcos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin βα22tg α ± tg βsin α - sin β = 2 cos + β sin α - βtg (α ± β ) =1 tg α ⋅ tg β ctg α ⋅ ctg β 1cos α + cos β = 2 c os 2 α + β 2 cos 2 α - β 2ctg (α ± β ) =ctg β ± ctg αcos α - cos β = 2 sinα + βsinα - β22y ' (1+ y '2 )3(uv ) = ∑C uv·倍角公式：sin 2α = 2 sin α c os αcos 2α = 2 c os 2α -1 = 1- 2sin 2α = cos 2α - sin 2αctg 2α -1sin 3α = 3sin α - 4sin 3 αcos 3α = 4 c os 3 α - 3cos α ctg 2α =tg 2α = 2ctg α2tg αtg 3α =3tg α - tg 3α 1- 3tg 2α1- t g 2α·半角公式：sin α=2cos α=2tg α== 1- cos α = sin α ctg α== 1+ cos α = sin α2 sin α 1+ cos α2 sin α 1- cos α·正弦定理：a = sin Ab sin B = csin Cπ= 2R ·余弦定理： c 2= a 2+ b 2- 2ab cos Cπ·反三角函数性质： arcsin x =- arccos x2arctgx = - arcctgx2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：n(n ) k (n -k ) (k )n k =0= u (n ) v + nu (n -1) v ' +n (n -1) u (n -2) v ' + + n (n -1) (n - k +1) u (n -k ) v (k )+ + uv (n )2! k !中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a ) f (b ) - f (a ) f '(ξ )柯西中值定理： F (b ) - = F (a )F '(ξ )当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：弧微分公式：ds = 1+ y '2 dx ,其中y ' = tg α平均曲率：K∆α : 从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：MM '弧长。

M 点的曲率：K === . ∆s →直线：K = 0; 半径为a 的圆：K = 1.a定积分的近似计算：11b矩形法：⎰ f (x ) ≈ ab梯形法：⎰ f (x ) ≈ ab - an b - a n ( y 0 + y 1 + + y n -1 )[ 2 ( y 0 + y n ) + y 1 + + y n -1 ]b抛物线法：⎰ f (x ) ≈ ab - a3n [( y 0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + + y n -2 ) + 4( y 1 + y 3 + + y n -1 )] 定积分应用相关公式：功：W = F ⋅ s 水压力：F = p ⋅ A引力：F = km 1m 2, k 为引力系数r 21 b 函数的平均值：y = b - a ⎰ f (x )dx均方根： 1 b⎰ f 2 (t )dtb - a a 空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d = M 1M 2 =向量在轴上的投影：Pr j u = cos ϕ,ϕ是与u 轴的夹角。

Pr j u (a + a ) = Pr j a + Pr j a a ⋅b = a ⋅ b cos θ = a x b x + a y b y + a z b z ,是一个数量,两向量之间的夹角：cos θ =a xb x + a y b y + a z b zi c = a ⨯ = a j k a a , c = a ⋅θ .例：线速度：v = w ⨯ r . b x y zb x b y b zb sin a x a y a z 向量的混合积：[abc ] = (a ⨯ b ) ⋅ c = b x b y c x c y b z = a ⨯ b ⋅ c cos α ,α为锐角时c z 代表平行六面体的体积。

a (x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )22 1 2 1 2 1a 2 + a 2 + a 2⋅ b 2 + b 2 + b 2 x y zx y z1 2 20 0 0 0 0 0 0 x ⎩x x 2 + = y y平面的方程：1、点法式：A (x - x ) + B ( y - y ) + C (z - z ) = 0，其中n= {A , B ,C }, M (x , y , z ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 03 x y z、截距世方程： + + = 1a b c平面外任意一点到该平面的距离：d =⎧x = x 0 + mtx - x 0 y - y 0z - z 0 ⎪空间直线的方程： = m n = p = t ,其中s = {m , n , p };参数方程：⎨ y = y 0 + nt二次曲面： 2 1、椭球面： + a 2 x 2y z 2 b 2 c 2 1y 2⎪ z = z +pt 2、抛物面： + 2 p 2q3、双曲面：= z （, p , q 同号）2 2 单叶双曲面： + a 2 b2 2 2 双叶双曲面： - a 2 b 2- z 2 c 2 + z 2 c 2 = 1 =（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz =∂zdx + ∂z dy du =∂udx + ∂u dy + ∂udz ∂x ∂y∂x ∂y ∂z全微分的近似计算：∆z ≈ dz = f x (x , y )∆x + f y (x , y )∆y 多元复合函数的求导法：z = f [u (t ),v (t )] dz = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v dt ∂u ∂t ∂v ∂tz = f [u (x , y ),v (x , y )] ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v ∂x 当u = u (x , y )，v = v (x , y )时，∂u ∂x ∂v ∂xdu = ∂u dx + ∂u dy dv = ∂v dx + ∂v dy∂x ∂y ∂x ∂y隐函数的求导公式： 隐函数F (x , y ) = 0，dy = - F x， dx F yd 2 y dx 2= ∂ (- F x )＋ ∂ ∂x F y ∂y(- F x ) ⋅ dyF y dx隐函数F (x , y , z ) = 0， ∂z = - Fx ，∂z= - F y ∂x F z∂y F z Ax 0 + By 0 + Cz 0 + DA 2+ B 2+ C2⎩' ⎨x x G y⎧F (x , y ,u ,v ) = 0∂(F ,G ) F u F v隐函数方程组： ⎩G (x , y ,u ,v ) = 0 J = ∂(u ,v ) = =G u G v∂u = - 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂v = - 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂x J ∂(x ,v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u = - 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂v = - 1 ⋅ ∂(F ,G ) ∂y J ∂( y ,v )∂y J ∂(u , y )微分法在几何上的应用：⎧x = ϕ (t ) 空间曲线⎪y =ψ (t )在点M (x , y , z )x - x 0 = y - y 0= z - z 0⎨ ⎪ z = ω (t )0 0 0处的切线方程： ϕ (t 0 ) ψ '(t 0 ) ω '(t 0 ) 在点M 处的法平面方程：ϕ '(t 0 )(x - x 0 ) +ψ '(t 0 )( y - y 0 ) + ω '(t 0 )(z - z 0 ) = 0⎧⎪F (x , y , z ) = 0F y F z F z F x F x F y 若空间曲线方程为：⎨⎪⎩G (x , y , z ) = 0,则切向量T = {G , G z G z G , G } 曲面F (x , y , z ) = 0上一点M (x 0 , y 0 , z 0 )，则：1、过此点的法向量：n= {F (x , y , z ), F (x , y , z ), F (x , y , z )}xyz2、过此点的切平面方程：F x (x 0 , y 0 , z 0 )(x - x 0 ) + F y (x 0 , y 0 , z 0 )( y - y 0 ) + F z (x 0 , y 0 , z 0 )(z - z 0 ) = 03、过此点的法线方程： x - x 0 = y - y 0 = z - z 0方向导数与梯度：F x (x 0 , y 0 , z 0 ) F y (x 0 , y 0 , z 0 ) F z (x 0 , y 0 , z 0 )函数z = f (x , y )在一点p (x , y )沿任一方向l 的方向导数为 ∂f = ∂f cos ϕ + ∂f sin ϕ ：∂l ∂x ∂y其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。