第7章 期权定价的二叉树模型
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ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
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风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
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愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
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如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
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我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
E S T p u S 0 1 p d S 0
代入p值，得
EST S0erfTt S0EST erfTt
u1
u2
u1
r
r
风险爱好型效用函数 风险中立型效用函数
U＝f（财富）→U＝g（E（R）） U＝h（风险）→U＝q（σR） R＝φ（σR）
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风险中性的投资者对风险不要求回报，他 们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险 收益率。
投资回报率=无风险利率+风险溢价
p
0.6523
ud 1.10.9
f 1 0 . 6 5 2 3 0 1 0 . 6 5 2 3 e 1 2 % 0 . 2 5 0 . 6 3 3
结果与之前一致。
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单步二叉树模型至少给我们两点启示： ⑴期权价格与股票价格变化的真实概率无 关（这与我们的直觉不一致） ⑵期权价格在定价形式上可以看成到期日 价值期望值的贴现值（按无风险利率贴现）
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将Δ代入f，得
f u S fu 0 d fd S 0S 0 1 u e r fT t fue r fT t
ffu fd1 u e rfT t u d
fue rfT t
f u 1 d f u f d f u u e r f T t f d u e r f T t u f u e r f T t d f u e r f T t
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利用风险中性假设的分析方法进行金融 产品的定价，其核心环节是构造出风险中性 的概率。
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S0 20
Su 22
p
1 p
T t
rf 12%
Sd 18
标的股票价格变动路径
2 2 p 1 8 1 p 2 0 e 1 2 % 0 .2 5
在我们的假设下，从概率角度讲，股票价格 以无风险利率增长（也就是说股票的期望收益率 等于无风险利率）。
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所谓风险中性假设就是： 如果对一个问题的分析过程和投资者的风险 偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中 性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界 里也应成立。
解得
p0.6523
即股票价格上升的概 率为0.6523。
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S0 20 f
p0.6523
Su 22 fu 1
fupfd1pferfT t
1p0.3477
T t
rf 12%
Sd 18 fd 0
1 0 .6 5 2 3 0 1 0 .3 4 7 7 fe 1 2 % 0 .2 5
ud 0 .6 5 2 3
u d S0 19.8 fdu 0
f u e r fT tp f u u 1 p f d u 2 .0 2 5 7
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d S0 18 fd ?
u 2 S 0 19.8 fdu 0
d 2 S 0 16.2 fdd 0
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➢ 单步二叉树模型 ➢ 风险中性定价原理 ➢ 两步二叉树模型
一、单步二叉树模型
⒈ 一个示例
S
u T
22
c
u T
1
S0 20 c0 ?
3个月
S
d T
18
c
d T
0
执行价格为21 元的看涨期权。
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股票和股票期权所面临的系统风险相关，适 当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险 组合。
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u S 0 fu d S 0 fd fu fd uS0 d S0
S 0 f d S 0 f d e r f T t u S 0 f u e r f T t
f S 0 1 u e r fT t fu e r fT t
f e r fT t p fu 1 pfd
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三、两步二叉树模型 ⒈ 一个示例
u S0 22 fu ?
S0 20 f ?
d S0 20 fd ?
u 2 S 0 24.2 fuu 3.2
u d S0 19.8 fdu 0
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⒉ 两步二叉树的一般形式
u S0 fu
u 2 S0 fuu
S0 f
t
d S0 fd
t
u d S0 fdu
e rf t d p
ud
f e r f t p fu 1 pfd
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⒉ 风险中性定价理论
风险中性理论又称风险中性定价方法（ Risk Neutral Pricing Theory ），是考克斯（Cox J.C.）和 斯蒂芬·罗斯（Stephen A. Ross）于1976年推导期 权定价公式时建立的。
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对风险中性定价原理的总结：
在风险中性的经济环境中，投资者并不要 求风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生 证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；由 于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的 贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券 或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现值 与它们当前的价值相等。
2 2 q 1 8 1 q 2 0 e 1 6 % 0 .2 5
解得 q0.7041
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与此对应，在真实世界里，该股票期权在到 期日的预期价值为：
1q01q0.7041
由此可以得到期权的预期收益率
rcln00..7603431442.58%
股票期权的预期收益率明显高于股票的预期 收益率。这与我们的直觉是一致的，因为期权的 风险要高于股票的风险。
per fuT t dd 1puerfTt
ud
ffup fd1 pe rfT t
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在之前的示例中，u1.1,d0.9,rf 12% , T t 0 .2 5 ,fu 1 ,fd 0 。
我们得到：
erfT td e12% 0.250.9
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假定风险中性世界中基础资产价格上升的 概率为p，由于其未来价格的期望值按无风险 利率贴现的现值必须等于其当前的价格，因此 该概率可通过下式求得：
S 0 e r fT t p S u 1 pS d
erf T t d p
ud
则以该资产为标的物的衍生证券的价格为：
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在一个假想的风险中性的世界（RiskNeutral World ）里，所有的市场参与者都是风 险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大 小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于 无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均 衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考 虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按 无风险收益率贴现的价值（即现值）。
根据无套利原则，得
fd 0
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S0 22 f ?