定理 如果函数u( x), v( x)在点x处可导,则它 们 的 和 、 差 、 积 、 商(分 母 不 为 零)在 点 x处 也 可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
微积分
证 (1)略. 证（2）
设y u( x) v( x)
y u(x x) v( x x) u(x) v( x)
u(x x)v(x x) u(x)v(x x)
u( x)v( x x) u( x)v( x)
② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形
n
n
[ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
③ （2）也可推广到任意有限个函数的情形
微积分
(uvw) uvw uvw uvw
n
[ fi ( x)] f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
解 （1）求增量：
y f (x x) f (x) sin(x x) sin x ，
由和差化积公式有：
y 2cos (x x) x sin (x x) x
2
2
2cos(x x)sin x . 22
微积分
（2）算比值：
y x
2 cos( x
x)sin 2
x
x 2
cos(x
x 2
⑤作为（3）的一种特殊情况，
若u
1,则(1) v
v v2
二、例题分析
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
微积分
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
)
sin x 2
x
2
（3）取极限：
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
cos(x
x ) 2
sin x 2
x
2
(sin x) cos x
用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为： (cos x) sin x
微积分
y log a x(a 0, a 0, x 0)
y
loga (x
x)
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
u v( x x) u( x) v
微积分
y u v( x x) u( x) v
x x
x
y lim y lim[ u v( x x) u( x) v ]
x0 x x0 x
x
u( x) v( x) u( x) v( x)
微积分
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0), v( x)
微积分
第三章 导数与微分
• 引例 • 导数概念 • 导数的基本公式与运算法则 • 高阶导数 • 微分
微积分
3-3 导数的基本公式
微积分
初等函数微分法
求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 导问题系统化，简单化。
x0
v( x x)v( x)x
u( x x) u( x) v( x) u( x) v( x x) v( x)
lim
x
x
x0
v( x x)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
微积分
注
① （1）即是和、差的导数等于导数的和、差 （2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 （3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方
loga
x
loga
x
x x
log
a
1
x x
y x
loga
1 x
x x
1 x
log
a
1
x x
x
x
微积分
x
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
1 x
loga
1
x x
x
1 x
log
a
e
1 x ln a
( log a
x)
1 x ln
a
特别地
(ln x) 1 x
微积分
y xn （n为正整数）的导数.
f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
u( x x) u( x)
lim v( x x) v( x)
x0
x
lim u( x x)v( x) u( x)v( x x)
x0
v( x x)v( x)x
微积分
lim [u( x x) u( x)]v( x) u( x)[v( x x) v( x)]
微积分
求函数 y C （C 是常数）的导数.
解 (1)求增量：因为 y C ，即不论 x取什么值，
y 的值总等于 C ，所以y 0；
(2)算比值： y 0；
x
(3)取极限： y lim y lim 0 0.
x x0
x0
即常数函数的导数等于零.
微积分
求函数 y sin x 的导数.
y (x x)n xn
nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 (x)n 2!
y nxn1 n(n 1) xn2x (x)n1
x
2!
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
nxn1
n(n 1) 2!
xn2x
(x)
n1
nxn1
xn nxn1 （n为正整数）
微积分
一、和、差、积、商的求导法则
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
④ 作为（2）的特殊情况
若v c，则(cu) cu 或 [Cf ( x)] Cf ( x); 即常数因子可以提到导数符号的外面
n
n
[ ki fi ( x)] ki fi( x)
i 1
i 1
微积分
即线性组合的导数等于导数的线性组合
——说明求导是一线性运算