例 5． 041 x x dx.
13
解. 令 x t2 (t 0) ，则dx 2tdt. 当 x 0时，t 0；当 x 4时，
t 2.
041
x
x
dx
0212t 2tdt
022(t
1 1 1
)dt t
[t2 2t 2ln1 t ]02 2ln 3.
例 6. 0a a2 x2 dx. 解. 令 x asin t ，则dx acostdt.
解. 04 (tan2 x cos x)dx 04 (sec2 x 1 cos x)dx
[tan x x sin x]04 (1
2) .
24
例4. 计算y sin x 在[ 0, ]上与 x 轴所围成平面图形的面积.
解.
A
0
sin
xdx
cos
x
0
2
y y sin x
.
o
x
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F (x) (x) +C.
因为 (x) ax f (t)dt 所以
(a) aa f (x)dx 0,
又因 F(x) (x) +C 所以
(b) ab f (x)dx
C F(a) (a) F(a)
故 ab f (x)dx (b) F (b) C F (b) F (a).
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4
一、微积分基本公式
1. 变上限函数
定义 1. 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]任意一个 子区间[a, x]上可积，则
(x) ax f (t)dx
( a x b)
是上限变量 x的函数，称此函数为积分上限函数(function as upper limit of integration)，也称为变上限函数.
积分上限函数 (x) ax f (t)dt 的增量为：
(x) (x x) (x)
=
x4x
a
f (t)dt
ax f (t)dt
=
x4x
x
f
(t)dt
f ( )x
(
在
x与x之间).
因此得到
(x) f ( )
x
当 x 0 时，有
(x) f ( ) f (x)
x
所以
(x) f (x)
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补例1. 求
解: 原式 lim ecos2 x (sin x) 1
x0
2x
2e
补例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
8
0 0
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
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9
2. 微积分基本公式
定理 2. 如果 f (x)在区间[a,b]连续，F (x) 是 f (x)在区间[a,b]]上 的一个原函数，则
ab f (x)dx F (b) F (a)
证明 因 F (x) 与 (x) 均是 f (x) 原函数，故
12
1. 定积分的换元积分法
定理 3.假设函数 f (x)在[a,b]上连续，函数 x (t) 满足条件：
(1) ( ) a，( ) b;
(2)(t) 在[, ](或[ , ])上具有连续导数，且其值不越出
[a,b]
则有
ab f (x)dx f (t)(t)dt
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第四章 一元函数的积分 及其应用
第一节 不定积分 第二节 定积分概念 第三节 微积分基本公式 第四节 定积分的应用
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2020年8月11日星期二
2
第三节 微积分基本公式
一、微积分基本公式 二、定积分的换元法和分部积 分法
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5
定理 1. 如果函数 f (x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数
在[a,b]上可导，且
(x) ax f (t)dt(x)d dx来自xaf
(t)dt
f
(x)
证明 对于 x (a,b) 且获得了增量 x时( x x [a,b] )，
当 x 0时，t 0；当 x a时，t .
2
0a
a2
x2 dx
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3
第三节 微积分基本公式
不定积分和定积分是作为两个概念分别引进的，表面 上看关系不大，但是从作直线运动物体的速度v(t) 和位 置S(t)函数的关系，即S(b) S(a) abv(t)dt ，可以看出原 函数和定积分关系. 牛顿正是从研究运动学问题发现这 一规律后，建立了微积分基本公式.
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例2. 求极限
lim
x0
x2
0
t
3 2
dt
0xt(t sin t)dt
解.
lim
x0
x2
0
t
3 2
dt
0xt(t sin t)dt
lim
x0
(
x2
0
t
3 2
dt)
(0xt(t sin t)dt)
3
2
lim (x )2 2x lim
2x3
lim
6x2
12.
x0 x(x sin x) x0 x sin x x0 1 cos x
10
为方便起见，写成
ab
f
(
x)dx
[
F
(
x)
]
b a
=
F
(b)
F
(a)
.
上述公式称作微积分基本公式. 微积分基本公式把定积分 与不定积分联系在一起，该公式在微积分学上具有重要的意 义.
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例3. 计算 04 (tan2 x cos x)dx
6
由定理
1
可得出结论,
变上限函数
(
x)
x
a
f
(t)dt
是被积函数 f (x)的一个原函数. 因此,若 f (x)是连续函数,
则它具有原函数, 这是不定积分部分给出的一个结论.
此外定理 1 还提示, 积分变上限函数的导数就是 被积函数, 因此可以讨论积分上限函数的与导数相关的 问题.
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