空间向量与立体几何单元测试题一、选择题1、若a,b,c是空间任意三个向量, Rλ∈,下列关系式中,不成立的是（）A.a b b a+=+ B.()a b a bλλλ+=+C．()()a b c a b c++=++D．b aλ=2、给出下列命题①已知a b⊥, 则()()a b c c b a b c⋅++⋅-=⋅;②A、B、M、N 为空间四点,若,,BA BM BN不构成空间的一个基底, 则A、B、M 、N共面;③已知a b⊥,则,a b与任何向量不构成空间的一个基底;④已知{},,a b c是空间的一个基底,则基向量,a b可以与向量m a c=+构成空间另一个基底.正确命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、已知,a b均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b+等于（）A 7B10C13D．44、1,2,,a b c a b===+且c a⊥,则向量a b与的夹角为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒5、已知()()3,2,5,1,,1,a b x=-=-且2a b⋅=,则x的值是（）A．3 B．4 C．5 D ．66、若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使//lα的是( )A()()1,0,0,2,0,0a n==-B．()()1,3,5,1,0,1a n==C()()0,2,1,1,0,1a n==--D．()()1,1,3,0,3,1a n=-=7.空间四边形OABC中，OB OC=，3AOB AOCπ∠=∠=，则cos<,OA BC>的值是（）A．21B．22C．－21D．08、正方体ABCD-1111DCBA的棱长为1,E是11BA中点,则E到平面11DABC的距离是（）A．3B．2C．12D．39．若向量a与b的夹角为60°，4=b，(2)(3)72a b a b+-=-，则a=（）Ａ．2Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．1210．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10151211．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面ABC 所成角的正弦值（ ）A ．42B ． 33C ．414D ．301012．正三棱柱111C B A ABC-的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3πB ．6πC ．65πD ．32π二、填空题13、已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =14、△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60︒,则AD 与平面BCD 所成角为 .15、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l ⊥α,则m = . 16、已知ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为三、解答题17、已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的正方形,PA ⊥底面ABCD,E 为PC 上的点且CE ：CP=1：4,求在线段AB 上是否存在点F 使EF （1）求DP 与CC 1所成角的大小； （2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.19、三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC ，13A A =，2AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求二面角1A CC B --的平面角的余弦值．20．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离.A 1A C 1B 1BDCA BC D PA 'B 'C 'D 'xyzH3参考答案 选择题DCCCC DDBCA CA 填空题13. (042)--，， 14. 30︒ 15. -2 16. 7解答题17、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b ， 则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b), 则(),,CP a a b =--,∵E 为PC 上的点且CE ：CP=1：3,∴()11,,,,44444a a b CE CP a a b ⎛⎫=⋅=⋅--=-- ⎪⎝⎭∴由33,,444a a b CE AE AC AE CE AC ⎛⎫=-⇒=+= ⎪⎝⎭, 设点F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x ≤a),则33,,444a a b EF x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭, 又平面PAD 的一个法向量为(),0,0AB a =,依题意,33044a a EF AB x a x ⎛⎫⊥⇒-⋅=⇒=⎪⎝⎭, ∴在线段AB 上存在点F,满足条件,点F 在线段AB 的34处.18 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．4设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DADH =<>， 可得2221m m =+22m =， 所以221DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）因为220011222cos 12DH CC ++⨯'<>==⨯，， 所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45． （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，． 因为220110122cos 212DH DC +⨯<>==⨯，， 所以60DH DC <>=，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19. 解：解法一：（Ⅰ）1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，226AB AC BC ==∴=，，， :1:2BD DC =，6BD ∴=，又3BD ABAB BC==，DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．又1A A AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，则1CF AC AF =-=，113C F A A =，160C CF ∴∠=．在Rt AEC △中，3sin 60232AE AC ==⨯= 在Rt BAE △中，26tan 33AB AEB AE ===．6arctan 3AEB ∴∠=， 即二面角1A CC B --为6A 1 AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）5解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)(200)(020)(003)(013)A B C A C ，，，，，，，，，，，，，，，:1:2BD DC =，13BD BC ∴=．D ∴点坐标为222033⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． ∴222033AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，1(220)(003)BC AA =-=，，，，，．10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥平面11ACC A ，取(200)AB ==，，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．22030l m m n ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，323l m n m ∴==，，如图，可取1m =，则3213⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，n ， 222222322010153cos 53(2)00(2)13⨯+⨯+⨯<>==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，m n ， 即二面角1A CC B --为15arccos5． 20. 解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .∵1AEC F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则.333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅⋅=n CC n CC α∴C 到平面1AEC F 的距离6为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d。