四.压轴经典。

1.已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。

若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。

将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2.已知：在直角梯形ABCD 中， //,,2,3,A D B C A B B C A D B C ⊥==设∠BCD=α,以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转900至DE, 连结AE,CE. (1)当045α=时，求△EAD 的面积； （2）当030α=时，求△EAD 的面积； （3）当00090α〈〈时，猜想△EAD 的面积与α大小有何关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论 .3.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ．（1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；（2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的16； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．y xBAOQD CEBCA D4、在一块矩形板ABCD 上进行装饰，己知AB=2．5m ，BC=4m ，先在矩形板上作一 抛物线，使抛物线经过B 、C 两点，且其顶点在AD 上，再在抛物线内作另一矩形EFHG ，使这矩形的一边FH 在BC 上，另两点E 、G 在抛物线上，装饰抛物线内矩形EFHG 边框时，打算使用一种单价为每米30元的嵌条，由于此矩形尺寸没定，为了满足各种设计情况的需要，在作材料预算时(不计损耗)，这种嵌条的预算金额至少应为多少?请建立适当的直角坐标系解决问题．5、如图，已知抛物线()22513y a x =--与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左边)，且过点D(5，－3)，顶点为M ，直线MD 交x 轴于点F ． (1)求a 的值和M 、A 、B 三点的坐标；(2)以AB 为直径画⊙P ，问：点D 在⊙P 上吗，为什么?(3)直线MD 与⊙P 存在怎样的位置关系?请说明理由．(14分)6.如图，⊙M 的圆心在x 轴上，与坐标轴交于A （03、B （－1，0），抛物线23y x b x c =-++经过A 、B 两点． （1） 求抛物线的函数解析式；（2） 设抛物线的顶点为P ．试判断点P 与⊙M 的位置关系，并说明理由；（3） 若⊙M 与y 轴的另一交点为D ，则由线段PA 、线段PD 及弧ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是多少？7．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，10），点B 的坐标为（5，0），点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿线段AO 向点O 运动，点Q 从B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO 向点O 运动，当其中一个点到达O 点时，另一点也随即停止运动．设运动时间为t （秒）．以P 、Q 为圆心作⊙P 和⊙Q ，且⊙P 和⊙Q 的半径分别为4和1．（1）若⊙P 与Rt △AOB 的一边相切，求点P 的坐标；（2）若⊙P 与线段AB 有两个公共点，求t 的取值范围；（3）在运动的过程中，是否存在⊙P 和⊙Q 相切？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，说明理由．8．如图，直线y ＝－3 4 x ＋9与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线y ＝－ 1 4 x 2＋bx ＋c 经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为点A ，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，运动时间为t （0＜t ＜5）秒． （1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）以OC 为直径的⊙O ′ 与BC 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ′ 相切？请说明理由； （3）在点P 从点A 出发的同时，动点Q 从点B 出发沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，动点N 从点C 出发沿CA 以每秒 103 5 个单位长度的速度向点A 运动，运动时间与点P 相同．①记△BPQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 最大，最大值是多少？②是否存在△NCQ 为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． x A O y BEB9．如图，点M 在第一象限，半径为6的⊙M 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C 、D ，且∠AMB ＝60°，CD ＝45． （1）求直线AM 的解析式；（2）若⊙M 以每秒1个单位长的速度沿直线AM 向右上方匀速运动①当⊙M 开始运动时，动点N 同时从点A 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长的速度匀速运动．在整个运动过程中，点N 在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？②在①中，若动点N 的运动速度为每秒a 个单位，当动点N 离开⊙M 时，⊙M 恰好与x 轴相切，求a 的值；（3）设P 为直线AM 上一点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是一个有三边相等且有一个内角为60°的等腰梯形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图⑴，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在 上取一点D ，分别作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、.⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ∆∽COM∆； ⑶如图⑵，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在 上，仍作直线ED CD 、，分别交直线AB 于点M F 、.试判断：此时是否仍有FDM ∆∽COM∆成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。

3、7、8、9略CAB M D O xy1：（1）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2 ∴OB ＝4，OA ＝32由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32 ∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3∴C 点坐标为（3，3）------------------------------（2）∵抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C （3，3）、A （32，0）两点 ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ba b a 3232033322解得：⎩⎨⎧=-=321b a∴此抛物线的解析式为：x x y 322+-=---------------（3）存在。

因为xx y 322+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t∴P （3t ，t ）作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E把t x ⋅=3代入xx y 322+-=得：t t y 632+-= ∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632+-）同理：Q （3，t ），D （3，1）要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD即()16332-=+--t t t ，解得：341=t ，12=t （舍） ∴ P 点坐标为（334，34） ∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（334，34）2：（1）当045α=时，由已知得△DEC 为等腰直角三角形。

∴∠DCE=∠DEC= 450,∴∠BCE=900.延长AD 交EC 于点F, ∴DF ⊥EC.作DH ⊥BC 于点H, ∴EF =DF =HC=1. ∴△EAD 的面积=1121122A DE F •=⨯⨯=…………2分(2)解法一：当030α=时，如图所示， 作D H ⊥BC 于H, 则HC=1, ∴DH=HC ·tan300.………3分∴,作EF ⊥AD 交AD 延长线于F,易得∠EDF=600在Rt △DEF 中 ∴EF=DE ·sin6001= .………………4分 ∴△EAD 的面积=1121122A DE F •=⨯⨯=………………5分 解法二：作D H ⊥BC 于H, 则HC=1, 作EF ⊥AD 交AD 延长线于F, ∵AD//BC∴∠FDC=030α=.∴∠EDF=∠EDC-∠FDC=900-300=600∵DC=DE,∠DHC=∠DFE=900∠HDC=∠FDE=600∴△DHC ≅△DEF ……………3分 ∴EF=HC=1 ∴△EAD 的面积=1121122A DE F •=⨯⨯=………………5分 （3）猜想：当0090α<<，△EAD 的面积与α的大小无关 . …………6分解法一：证明：将梯形ABCD 绕D 点逆时针旋转900，得梯形A /B /ED.……………7分FE则EB /⊥BC,延长AD 交EB /于F则DF ⊥EB /∴EF=3-2=1. ∴△EAD 的面积=1121122A DE F •=⨯⨯=………8分解法二：作D H ⊥BC 于H, 则HC=1,作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F,∴∠EDF=∠EDC-∠FDC=900-α。

∵DC=DE,∠DHC=∠DFE=900∠HDC=∠FDE=900-α∴△DHC ≅△DEF ……………7分 ∴EF=HC=1 ∴△EAD 的面积=1121122A DE F •=⨯⨯=………………8分∴当0090α<<，△EAD 的面积与α的大小无关 .5：(1)把D(5，－3)代入y=a (x －1) 2－253得：a =13(2)()2125133y x =-- 令y=0，得：x 1=－4， x 2=6 ∴A(－4，0)，B(6，0) ∴AB=10 AB 为⊙P 的直径 ∴P(1，0) ∴⊙P 的半径r=5 过点D 作D E ⊥x 轴，垂足为点E ，则E(5，0) ∴PE=5－1=4，DE=3 ∴∴PD 与⊙P 的半径相等 ∴点D 在⊙P 上(3)设直线MD 的函数解析式为：y=kx+b(k ≠0)把M 251,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，D(5，－3) 代入得：25335k b k b ⎧-=+⎪⎨⎪-=+⎩ ∴ 43293k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线MD 的函数解析式为：42933y x =- 令y=0，则429033x =- 得294x =∴29,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴299544E F =-= ∴DF 2=EF 2+DE 2=22516 ()222296251416P F O FO P ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭DP 2=25 ∴DP 2+DF 2=PF 2 ∴FD ⊥DP 又点D 在⊙P 上 ∴直线MD 与⊙P 相切6.解：（1）∵抛物线经过点A 、B ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+--==.330,3c b c 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==.3,332c b∴.3332332++-=x x y ………………………………… （2）由3332332++-=x x y 得.334)1(332+--=x y ∴顶点P 的坐标为（1，334）．……………… 在Rt △AOM 中,MA 2－MO 2=OA 2,OA=3,OB=1, MA 2－(MA －1)2=3,∴MA=2.……………∴MB=2, MO=1,即点O 的坐标为（1，0）． ∴MP=334＞2. ∴顶点P 在圆外； ………（３）连结O D ，∵点M 在抛物线的对称轴上,∴M P ∥y 轴, ∴PADOAD S S ∆∆= . ……………………… ∴由线段PA 、线段PD 及弧ABD 形成的封闭图形PABD 的面积=扇形OAD 的面积. ∵在Rt △AOM 中,si n ∠AMO=23,∴∠AMO=60°.∴封闭图形PABD 的面积=212043603M A ππ⋅= ………… 10：解：（1）∵AB 为直径，AB CE ⊥，∴⋂⋂=AE AC ，EG CG =.在COGRt ∆中，∵OC 21OG =， ∴03G O =∠C . ∴ 60=∠COA . 又∵o60COA AC CAE 21CDE =∠===∠⋂⋂的度数的度数的度数的度数, ∴120CDE 180o =∠-=∠FDM .……………………………………………… （2）证明：∵120COA 180o=∠-=∠COM , ∴FD COM ∠=∠. 在CGM Rt ∆和EGMRt ∆中，⎩⎨⎧==EGCG GMGM ，∴CGM Rt ∆≌EGM Rt ∆. ∴E G C G M M ∠=∠. 又∵E G M DMF ∠=∠， ∴DM OMC ∠=∠. ∴FDM ∆∽COM∆………………………………………………… （3）结论仍成立. 证明如下： ∵CD180o∠-=∠FDM ， 又∵的度数的度数的度数的度数COA CA CAE 21CDE ∠===∠⋂⋂， ∴C COA 180o∠=∠-=∠FDM . ∵AB 为直径，AB CE ⊥， 在CGM Rt ∆和EGMRt ∆中， ⎩⎨⎧==EG CG GMGM ， ∴CGM Rt ∆≌EGM Rt ∆. ∴EG C G M M ∠=∠. ∴FDM ∆∽COM ∆.……………………………………………………………………。