二维形式的柯西不等式（全部）1、已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（）A． B． C． D．2、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．23、已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则的最小值为( )A．1 B．3 C．6 D．94、若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )A．3 B．1 C． D．5、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为( )A．1 B．6 C．11 D．6、n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A．1 B．n C．n2 D．7、设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( )A．1 B． C．3 D．98、函数的最大值是( )A． B． C． D．9、设实数满足关系：，，则实数的最大值为（）A．2 B． C．3 D．10、函数的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．611、已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则的值为（）A．2 B．1 C． D．12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C． D．13、设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+ B．2 C．3 D．14、用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A． B．3 C．4 D．515、对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．416、已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A．1 B．4 C．8 D．917、已知a+b=1，则以下成立的是（）A．a2+b2＞1 B．a2+b2=1 C．a2+b2＜1 D．a2b2=118、二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）19、已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（）A．3a+2b≤4 B．3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定20、（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A． B． C． D．21、（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2 C．2 D．322、（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2 C． D．123、选修4-5:不等式选讲已知.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.24、选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，满足，求证：．25、（2014•镇江二模）已知不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．26、选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.27、若函数的最小值为．（1）求实数的值；（2）若，且，证明：．28、设2x＋3y＋5z＝29，求函数的最大值.29、已知 a,b 为实数,且 a>0,b>0 ,(1)求证: ;(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.30、(1)关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；(2)设，，，且，求的取值范围．31、(1)设x＞0，求的最小值；(2)已知，求的最小值．32、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.33、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.34、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.35、函数的最大值为______.36、（1）证明：如果，，那么；（2）已知，求的最小值．37、设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．38、【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：最大值．39、（选修４－５：不等式选讲）已知均为正数，且a＋2b＋3c＝9．求证：＋＋≥．40、选修4—5：不等式证明选讲设为正实数，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的值．41、函数的最大值为______.42、[选修4-5：不等式选讲]已知，且，，求的取值范围．43、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最大值为.（1）求的值；（2）求的最小值，并求出此时的值.44、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.45、已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.（1）求整数的值；（2）已知，若，求的最大值；（3）函数，若不等式的解集为，且存在实数使成立，求实数的取值范围.46、选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．47、D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.48、选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）设为正数，且，求最大值.49、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：.50、选修4-5：不等式选讲（1）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（2）对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.51、选修4-5：不等式选讲已知函数，，且的解集为．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若均为正实数，且满足，求证：．52、已知函数，且的解集为.（1）解不等式：；（2）若均为正实数，且满足，求证：.53、（2014•陕西模拟）函数的最大值是．54、（2014•黄浦区一模）设向量=（a，b），=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式||•||恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．55、（2014•宜昌三模）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，则++的最大值为．56、（2014•祁东县一模）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，则（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．57、（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．58、（2014•陕西三模）已知a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4，cd=1，则（a2c2+b2d2）（b2c2+a2d2）的最小值为．59、函数的最小值为________60、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．61、已知向量，则__________．62、函数的最大值为__________．63、（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．参考答案1、D2、C3、D4、D5、D6、C7、B8、D9、B10、A11、C12、A13、D14、C15、A16、D17、B18、C19、B20、A21、C22、B23、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .24、（1）；（2）见解析.25、≤a≤26、(1);(2)5.27、（1）；（2）证明见解析.28、29、（1）见解析（2）30、(1)；(2).31、（1）3；（2）.32、(1) (2)3633、(1) (2)3634、（1）（2）935、36、（1）见解析；（2）.37、（1）（2）见解析38、39、见解析.40、（Ⅰ）．（Ⅱ）1.41、42、．43、（1）；（2）最小值为，.44、（1）（2）945、（1）；（2）；（3）.46、（1）（2）见解析47、详见解析.48、（1）;（2）.49、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.50、（1）（2）51、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.52、（1）；（2）证明见解析.53、10．54、k＞．55、3．56、57、．58、1659、2560、61、162、1063、k＞．【解析】1、试题分析：由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值．解：∵2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题．2、所以，正实数的最小值为4.3、，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.4、，，当且仅当时等号成立，故选D.5、，当且仅当时等号成立，的最小值，故选D.6、由柯西不等式，得，当且仅当时取等号，故选C.7、由柯西不等式得，，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选B.8、由柯西不等式可得故选D.9、解：根据柯西不等式可知：4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2，∴4(16-e2)≥(8-e)2，即64-4e2≥64-16e+e2，∴5e2-16e≤0，∴0≤e≤，本题选择B选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．10、由题意得，因为，则，当且仅当时等号成立的，所以函数的最小值为，故选A.11、试题分析：由题意可得tanθ=＞1，再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ 的值，可得tanθ=的值．解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，∴tanθ=＞1．再由，+=，可得=，化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ=3，或 tan2θ=（舍去），∴tanθ==，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题．12、设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，（），半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设椭圆和双曲线的离心率分别为∵，则由余弦定理可得，①在椭圆中，①化简为即…②，在双曲线中，①化简为即…③，由柯西不等式得故选B．【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．13、试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．14、试题分析：由柯西不等式可得，函数y=≤•，从而求得函数的最大值．解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4，当且仅当==时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C．点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题．15、试题分析：根据题意可得（k﹣）x+ky≥2，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，可得2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0，由此求得k的最小值．解：由所给的选项可得k≥1，∵（k﹣）x+ky≥2，x、y都是正实数，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，∴2≥，∴2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0．解得k≤﹣（舍去），或k≥1，故k的最小值为1，故选：A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16、试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，由此求得正数k的值．解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，即 36（1++）≥（x+y+z）2．再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，求得正数k=9，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．17、试题分析：利用柯西不等式即可得出．解：由柯西不等式，得1=a+b≤[a2+（1﹣a2）][（1﹣b2）+b2]=1，当且仅当=时，上式取等号，∴，化为a2b2=（1﹣a2）（1﹣b2），于是 a2+b2=1．故选：B．点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．18、试题分析：二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．19、试题分析：首先分析题目已知a2+b2=4，求3a+2b的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2的最大值，开平方根即可得到答案．解：已知a2+b2=4和柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）故（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52即：3a+2b≤故选B．点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题目．20、试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．21、试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，结合x+y+z=2，即可求出++的最大值．解：∵x、y、z是正数，∴（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，∵x+y+z=2，∴++≤=2，∴++的最大值是2．故选：C．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．22、试题分析：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2=[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2，∴[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2≤8，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）≤2，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为2，故选B．点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，是解题的关键．23、试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.24、试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式求得最小值，由柯西不等式证明即可.试题解析：（1）由，得，当时，，即，解得；当时，，即，即，恒成立；当时，，即，解得．综上得的解集为．（2）由，得，即．因为，所以，令向量，．由，得，即，当且仅当，即，时，取到等号．从而成立．25、试题分析：不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2恒成立，只要|a﹣2||≤（x2+2y2+3z2）min，利用柯西不等式求出x2+2y2+3z2的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，∵不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，∴|a﹣2|≤，∴≤a≤．点评：本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．26、试题分析:(1)方法1：将函数按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件.试题解析:（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．27、试题分析：（1）化简的解析式，判断的单调性，利用函数的最小值为列方程解出；（2）搭配，利用柯西不等式可得出结论.试题解析：（1）当时，最小值为，,当时，最小值为，（舍）综上所述，.（2）证明：∵,∴.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值或者证明不等式时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答28、试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件，本题采取如下方法将原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.试题解析：根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥，故 .当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即，时等号成立，此时 .29、试题分析：（1）先利用基本不等式可得，可得，再次利用基本不等式可得结论；（2）原不等式左边化为.，利用柯西不等式求解即可.试题解析：（1）证明:因为a>0,b>0,所以（2）解：[(5-2a)2+4b2+(a-b)2 ][12+12+22] ≥[(5-2a)1+2b1+(a-b)2]2 ,所以当且仅当时取等号,解得所以当时取最小值 .当时取最小值.30、试题分析：（1）利用绝对值不等式可得，，依题意即可求得的取值范围；（2）利用柯西不等式，可求得，从而可得答案.试题解析：(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，————2分且|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(4×＋×＋2×)2＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．31、试题分析：（1）利用均值不等式得其最小值；（2）构造柯西不等式得其最小值.试题解析：（1），当且仅当时取“”号．（2）由柯西不等式，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为. 32、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)33、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)34、试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值；（2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为所以由得由有解，得，且其解集为又不等式解集为，故（2）由(1)知，又是正实数，由柯西不等式得当且仅当时取等号故的最小值为935、由柯西不等式：，即函数的最大值为.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．36、试题分析：（1）作差利用乘法公式与实数的性质即可得出．（2）利用柯西不等式的性质即可得出．试题解析：（1）∵，，∴，∴．（2），∴,当且仅当时取等号。