全国2009年4月自学考试离散数学试题（附答案）课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）A．P∧Q∧⎤ P B．⎤ P∨QC．⎤ P∧Q D．⎤ P∨P∨Q2．下列语句中是真命题的是（）A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A．⎤ P∧⎤ Q B．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．命题公式⎤（P∧Q）→R的成真指派是（）A．000，001，110，B．001，011，101，110，111C．全体指派D．无6．在公式（x∀）F（x，y）→（∃y）G（x，y）中变元x是（）A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）A．自反的B．对称的C．传递的、对称的D．反自反的、传递的8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（）A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的B．若R和S是对称的，则R S是对称的C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是．．t（R）中元素的是（）A．<1，1> B．<1，2>C．<1，3> D．<1，4>10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）A．1∈A B．{1，2，3}⊆AC．{{4，5}}⊂A D．∅∈A11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（）A．a*b=a-2b B．a*b=min{a，b}C．a*b=-a-b D．a*b=|a-b|12．在代数系统中，整环和域的关系是（）A．整环一定是域B．域不一定是整环C．域一定是整环D．域一定不是整环13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（）A．B．C．D．14．设G为有n个结点的简单图，则有（）A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤nC．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（）A．2 B．3C．4 D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16．（∀x）（∀y）（P（x，y）Q（y，z））∧∃x P（x，y）中∀x的辖域为________，∃x的辖域为________。

17．两个重言式的析取是________式，一个重言式与一个矛盾式的析取是________式。

18．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f（n）=2n+1，g（n）=n2，那么复合函数（f f）（n）=________（g f）（n）=________。

19．设复合函数g f是从A到C的函数，如果g f是满射，那么________必是满射，如果g f是入射，那么________必是入射。

20．设A={1，2}，B={2，3}，则A-A=________，A-B=________。

21．设S是非空有限集，代数系统<P（S），∪>中，其中P（S）为集合S的幂集，则P（S）对∪运算的单位元是________，零元是________。

22．在<Z 6,○+>中，2的阶是________。

23．设<A ，≤>是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是________。

24．在下图中，结点v 2的度数是________。

25．设图D=<V ，E>，V={v 1，v 2，v 3，v 4}，若D 的邻接矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100111101101，则deg -（v 1）=________，从v 2到v 4长度为2的路有________条。

三、计算题（本大题共5小题，第26、27小题各5分，第28、29小题各6分，第30小题8分，共30分）26．已知A={{∅}，{∅，1}}，B={{∅，1}，{1}}，计算A ∪B ，A ○+B ，A 的幂集P （A ）。

27．构造命题公式（（P ∧Q ）→P ）∨R 的真值表。

28．下图给出了一个有向图。

（1）求出它的邻接矩阵A ；（2）求出A 2，A 3，A 4及可达矩阵P 。

29．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P ∨（⎤ P →（Q ∨（⎤ Q →R ）））30．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R 为A 上的整除关系，试画<A ，R>的哈斯图，并求A 中的最大元、最小元、极大元、极小元。

四、证明题（本大题共3小题，第31、32小题各6分，第33小题8分，共20分）31．在整数集Z上定义：Zbaa ，证明：<Z， >是一个群。

=bba,+,2∈∀-32．R是集合A上自反和传递的关系，试证明：R R=R。

33．证明：边e是图G的一条割边，当且仅当图G中不存在包含边e的简单回路。

五、应用题（本大题共2小题，第34小题6分，第35小题9分，共15分）34．构造下面推理的证明。

如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。

小赵不去看电影或小张去看电影。

小王去看电影。

所以，当小赵去看电影时，小李也去。

35．今有n个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n-2人。

试证明：（1）当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边（或右边）的人的朋友。

（2）当n≥4时，这n个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。

全国2010年4月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均不得分。

1.下列句子为命题的是( ) A.全体起立! B.x =0 C.我在说谎 D.张三生于1886年的春天 2.下列式子不是．．谓词合式公式的是( ) A.),()()),(),()((z x R z z x Q y x P x ∃∨→∀ B. ),()(),(),())((y x P x z x Q y x P y x ∃∧∨∀∀ C. ))()()(())()()(x Q x P x x Q x P x ∨⌝∀⇔→∀ D. ),()()(z y Q x P x ∧∃ 3.下列式子为矛盾式的是( ) A.P P ⌝∧ B.)(Q P P ∧∨C.P P ⌝∨D.)(Q P ∨⌝ Q P ⌝∧⌝4.设给定赋值N 如下：个体域为自然数集；特定元素a =0；特定函数f (x ,y )=x+y,g (x ,y )=xy ；特定谓词F (x ,y )为x =y 。

在赋值N 下，下列公式为真的是( ) A. )),,(()(x a x g F x ∀B. ))),,(()),,(()()((x a y f F y a x f F y x →∀∀C. )),,(())()((z y x f F z y x ∀∀∀D. )),(),,(())((y x g y x f F y x ∀∀5.对于公式),()()),(),()((z x R z z x Q y x P x ∃∨→∀，下列说法正确的是( ) A.y 是自由变元 B.x 是约束变元C. )(x ∀的辖域是),()()),(),((z x R z z x Q y x P ∃∨→D. )(x ∀的辖域是P (x ,y )6.设论域为{l ，2}，与公式)()(x A x ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2) B. A (1)→A (2) C.A (1)D. A (2)→A (1)7.设Z +是正整数集合，f :Z +→Z +，f (n )=2n -2,则f ( ) A.仅是入射 B.仅是满射 C.是双射 D.不是函数 8.下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101 B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110001 C. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101019.设R 1和R 2是集合A 上的相容关系，下列关于21R R ⊕的说法正确的是( )A.一定是相容关系B.一定不是相容关系C.可能是也可能不是相容关系D.一定是等价关系10.设A是奇数集合，下列构成独异点的是( )A.<A，+>B.<A，->C.<A，×>D.<A，÷>11.设A是整数集，下列说法正确的是( )A.<A，+>有零元B.<A，÷>有零元C.<A，+>有幺元D.<A，÷>有幺元12.下列说法不正确．．．的是( )A.在实数集上，乘法对加法是可分配的B.在实数集上，加法对乘法是可分配的C.在某集合的幂集上，∪对∩是可分配的D.在某集合的幂集上，∩对∪是可分配的13.右图的最大入度是( )A.0B.1C.2D.314.下列可一笔画成的图形是( )15.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l度结点，那么这棵树的结点数是( )A.13B.14C.16D.17二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均不得分。

16.请写出表示分配律的两个命题公式等价定理________,________。

17.n个命题变元的________称为大项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须________。

18.在谓词推理过程中，由)x∀得到P(a)，其中a为论域的某个个体，用的是________规则，记为P()(x________规则。

19.请用联结词⌝，∨表示联结词∧和联结词→：________，________。

20.设A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A-B=________，A⊕B=________。

21.给出A={l，2}上的一个等价关系________，并给出其对应的划分________。