小学五年级奥数分类讲义含答案图形问题专题1 长方形、正方形的周长一、专题解析同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。

长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。

那么如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长呢？还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的图形转化为标准的图形，以便计算它们的周长。

二、精讲精练【例题1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

【思路导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。

因此，所求周长是18×4=72厘米。

练习11、右图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2、右图由1个正方形和2个长方形组成，下方长方形长为50cm，求这个图形的周长。

3、有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。

【例题2】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。

现在这块木板的周长是多少厘米？【思路导航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。

把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。

176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。

练习21、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。

求这个正方形的周长。

2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？3、有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。

求划去的绿化带的面积是多少平方米？【例题3】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？【思路导航】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。

三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。

所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。

练习31、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。

2、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成右图所示长方形，求所拼长方形的周长。

3、求右面图形的周长（单位：厘米）。

【例题4】右图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。

【思路导航】我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和正好是4厘米。

把下面的线段全部平移到下面，其和正好是4厘米。

因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。

练习41、在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的周长（）乙的周长2、右图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

【例题5】如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。

【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。

因为BC=EF，CF=DE，所以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。

因此，最大长方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。

练习51、下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）2、右面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。

这个零件的周长是多少厘米？3、有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如右图重叠着，求重叠图形的周长。

专题2 长方形、正方形的面积一、专题解析同学们都知道，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。

但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。

这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的图形转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。

二、精讲精练 【例题1】已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？【思路导航】 从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A 和B 的面积相等。

因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A 和B 的面积，再用A 或B 的面积除以2就是小正方形的边长。

求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。

练习11、有一块长方形草地，长20米，宽15米。

在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。

22BA2、正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。

原正方形的面积是多少平方厘米？3、把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。

求这个正方形的边长是多少分米？【例题2】一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【思路导航】 因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。

练习21、右图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。

2、右面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A 和B 的面积。

3、右图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。

【例题3】B1224A 4515把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。

两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。

如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。

因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米）练习31、一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350平方米。

这块地原来的面积是多少平方米？2、一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。

原来正方形的面积是多少平方厘米？3、有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。

求草坪的面积。

【例题4】有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。

【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。

我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。

以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。

练习41、四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。

2、正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。

如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？3、正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。

【例题5】有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。

一个正方形的面积是多少平方厘米？【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。

练习51、五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？2、有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。

从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？3、有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如右图），已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。

求原来小长方形的面积。

专题3 长方体和正方体（一）一、专题解析在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习11、一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。