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龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月数学试题参考答案
一、单项选择题： 1-4 CDCA 5-8 BCAB
一、多项选择题：9．BC 10．BC 11．BD 12．ABD
三、填空题 13．
334- 14．210 15．32
16．2π 四．解答题
17．解：（Ⅰ）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+． 再由余弦定理，得222
1
cos 222a c b ac B ac ac +-===，又(0,)B π∈，则3
B π=．………………4分
（Ⅱ）由,33
B b π
=
=，则由正弦定理，有
224sin 2sin 4sin 2sin 23cos 3a c A C C C C π⎛⎫
-=-=--= ⎪⎝⎭．……………………………7分
因为ABC ∆为锐角三角形，则62
C ππ<<，则3
0cos C <<．………………………………9分
所以2a c -的取值范围为()0,3．…………………………………………………………………10分
18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，
由22
42214542221
d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩………………………………………………………………2分 2,3q d ∴==…………………………………………………………………………………………4分 31,2n n n a n b ∴=+=．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令7
1273121283
n n +<=⇒<
此时至多有41748+=项（不符）…………………………………………………………………7分
当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令8
31225685n n +<=⇒<
则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前53项…………………………………9分
()7
602125352534343462544600212S -⨯⎛
⎫∴=⨯+⨯+
=+= ⎪-⎝⎭
．…………………………12分
19．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接PD ，DC
∵PA PB =，AC BC =，则AB PD ⊥，AB DC ⊥．又PD DC D =，
∴AB ⊥平面PDC ，故AB PC ⊥．……….…………………….………………….……….….2分 在ABC △中，22AB AC BC ==，∴BC AC ⊥．………….………………….………3分 又∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴BC ⊥平面ABC ，故BC PC ⊥． ……….4分 又AB PC ⊥，AB BC B =∴PC ⊥平面ABC ．………………………………………….5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设1AC =，则(0,1,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，
11,0,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭
．……………………….……….………………..6分 设平面QAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(0,1,0)CA =，1
1,0,2
2CQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由0
n CA n CQ ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，可得(1,0,1)n =-，…………….……….…….…….8分
又111,,222MN ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，
∴6
cos ,||||
324
n MN
n MN n MN ⋅〈〉==
=
⋅⋅
….………….…….11分 所以直线MN 与平面QAC 所成角的正弦值为
6
．………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）第三局甲当裁判则前两局有两种情形：前两场都是乙胜，前两场都是丙胜，故所求概率
为12122
25255
P =
⨯+⨯=．………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由于不能连续两局都当裁判，第一局由甲当裁判，故X 的可能取值为0，1，2，………6分
当0X =时，则前三局乙均胜，故()2
122
02525
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，………………………………7分
当2X
=时，乙只能在第2、4局中当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，则第一局丙胜
乙败；第二局无论甲丙谁胜，在第三局中甲或丙是连胜概率变为25
， 故()121
2255P X ==
⨯=，……………………………………………………………………………9分 ()2118
1125525
P X ==--=
，………………………………………………………………………10分 其分布列为
218128
0122525525
EX =⨯
+⨯+⨯=
．………………………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）y x '=，设点(
)2
2,2(0)A t t
t >，则2AM
x t k
y t ='==，………………………2分
∴直线AM 的方程为：2
22(2)y t t x t -=-，即2
22y tx t =-，
∴(),0M t ，又OA k t =，∴1
BC k t
=-，……………………………………………………………4分
∴直线BC 的方程：()11
1y x t x t t
=-
-=-+经过定点()0,1．…………………………………5分 （Ⅱ）直线BC 与抛物线22x y =联立得2
220x x t
+-=，………………………………………6分。