图2-3 不同相位关系的波形图
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(d)
u1滞后于u2
10
2.2.1 复数及四则运算（一）
1.复数 A a jb
r A a2 b2
arctanb ( 2 )
a
a r cos
b
r
sin
图2-6 复平面图
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11
交流电的复数表示法
[示例]将
i1
8 sin(
314t
3
)安
表示为复数的四种形式：
形式一（三角函数式）：
i1
（ 8 cos
3
j sin
)A
3
形式二（代数式）：
i1
8
1 2
j(8
3) 4 2
j6.928
形式三（指数式）：由三角函数式，根据欧拉公式转化
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12
续
i1
（ 8 cos
3
j sin
)A 3
欧拉公式的证明：
e jx 1 jx ( jx)2 ( jx)3 ..........
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20
解(例2.1.2):
根据图2-4波形图所示,可直接写出电压的解析式如下:
u1
200sin(t
3
)V
u2
250sin(t
)V
6
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21
例题2.1.3
• 分别写出图2-5中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2的相 位关系。
i
i1
i2
2
3 2
2
0
t
i i1
i2
0
2
3
i2的三要素是 Im=6A ；ω=314rad/s； Φ0=-300
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15
解(2) 位
i1
8sin(
314t
3
)安；i2
6 sin（314t
）安
6
关系？
的相
根据△Φ=(314t+600)-(314t-300)=900
i1超前i2 900
.
I1
作相量图如右：
参考方向
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.
I2
16
解⑶ i1+ i2=？
8 sin
3
6 sin
6
Im
sin
v..........B
B/A得：
8 sin 6 sin
tan
8
cos
3
6 sin
6
3
6
A2+B2得：
I
2 m
(8 cos
3
6 cos ) 2
6
(8 sin
3
6 sin
)2
6
求得：I m 10A
此法太繁！
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18
方法二：复数解法
i1 8sin( 314t 复数表示为：i1
• 5、一正弦电压的初相为60 °，在t=T/2时的值为－465.4V ，试求它的有效值和解析式。
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26
2.2 正弦交流电的几种表示方法
• 目的与要求:会对正弦量进行相量表示及进行相量运算 • 重点：正弦量的相量表示及相量运算 • 难点：相量表示及相量计算
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27
2.2.1 复数及四则运算（一）
2j
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13
转化过程
i1
（ 8 cos
3
j sin ) A
3
根据
cos x 1 (e jx e jx )
2
sin x 1 (e jx e jx )
2j
j
j
j
j
则：i1
8 e
3
e 2
3 8je 3 e 2j
3
j
j
j
j
i1
4e
3
4e
3 4e 3 4e
3
j
i1 8e 3
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24
练习题
• 1、已知 i 10 2 sin( 314t 240 ) A, 则Im=_____A，
ω= _____rad/s， f = _____Hz， T= _____s，φi= _____弧度
。
• 2、一个工频正弦电压的最大值为311V，在t=0时的值为
-220V，试求它的解析式。
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2
2.1.1 正弦交流电的三要素（一）
• 正弦交流电：大小和方向随时间按正弦函数规律变化的电 压电流或电动势
• 以正弦电流为例:已知 i(t) ImSin(t i )
时,
式中: Im
i 分别称为正弦量的最大值；角频率;
初相角或初相位
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3
1. 振幅值（最大值）
• 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值或幅值。 用 大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
32
2.2.1 复数及四则运算（四）
(2) 复数的乘除法
A B r1 1 r2 2 r1 r2 (1 2 )
A r1 1 r1 B r2 2 r2
(1 2 )
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33
例题2.2.3
• 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积A·B。 • 解： A+B=（8+j6)+(6-j8)=14 -j2 • A·B=(8+j6)(6-j8)=10∠36.9°·10 ∠-53.1°=100∠-16.2°
2-3（c）所示。
0
• （4）如果
，则称前一正弦量超前后一正弦量一
个角度或称后一正弦量滞后前正弦量一个角度。如图2-3
（a）所示。
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9
2.不同相位关系的波形图
u
u1 u2 0
u u1
u2
u
u1
u2
u u1
u2
t 0
t 0
t 0
t
(a)
u1超前u2
(b)
(c)
u1、u2同相
u1、u2反相
A a jb
A r cos jr sin
A re j
A r
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29
例2.2.1 写出复数A1= 4-j3, A2= -3+j4的极坐标式。
• 解(例2.2.1): • A1的模: r1 42 (3)2 5
• 辐角:
1
arctan 3 4
36.9
• 则A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9°
1.角频率ω
• 角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数, 单位：rad/s
2. 频率 f
❖ 频率f 是指交流电在单位时间内变化的次数 。单位HZ
3. 周期 T
❖ 周期T 是指交流电每变化一周所用的时间。单位S
4. 三者的关系：
2
T
2f
f 1
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T
5
2.1.1 正弦交流电的三要素（三）
3
3
6
6
(8 cos 6 cos ) sin 314t (sin 6 sin ) cos 314t
3
6
3
6
令：8 cos
3
6 cos
6
Im
cos v........A
8 sin
3
6 sin 业务推6广部
I
m
sin
v..........B
17
续
8 cos
3
6 cos
6
Im
cos v........A
j
所以，i1的复数的指数形式是 i1 8e 3
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14
习题分析技术 [例题2.1.1]
已求知：：⑴i1i1、8is2i的n( 3三14要t 素3？)安；i2
6 sin（314t
）安
6
⑵ i1、i2的相位关系？并用相量图表示。
⑶ i1+ i2=？ 解⑴：
i1的三要素是 Im=8A ；ω=314rad/s； Φ0=600
2. 有效值
❖ 由于在平时的各种测量中以及仪器仪表所指示的值均为有
效值, 用大写字母I、U、E表示。
3. 最大值与有效值的关系
I
1 T
T 0
Im2
sin
2
(t
i )dt
Im 2
0.707Im
U
1 T
T
U
0
2 m
sidt
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Um 2
0.707Um
4
2.1.1 正弦交流电的三要素（二）
1.相位
• 正简弦称量相表位示。式表中示对正应弦的量角任度意如时刻(的t电角i度) 。称其为单相位位一角般，
用弧度或度表示。
2.初相位
❖ 当 t = 0 时的相位，称为初相位或初相角，简称初相。
分别记作为i 、e 、u 3.相位差
❖ 两个同频率正弦量的初相位的差值称为相位差，记作 即： 1 2
3
)安；i2 6 （8 cos
3
sin（314t j sin ）
3
）安
6 j 8e 3
Im
.
I1m
i2I2.m（6c8o(csos63
j sin
j sin 3
）
6e
j
6
6
) 6(cos j
6
sin
6
)
4 6.928 j 5.196 3 j
9.196 3.928 j
［点拨］二个交流电的求和问题是一个复杂的问 题，我们目前只讨论同频率的二个交流电的求和
方法一：高中数学解法