普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座12）—空间中的夹角和距离一．课标要求：1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．要点精讲 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

（2）点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）2．夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。

通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos＝SS，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。

3．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

三．典例解析题型1：直线间的距离问题例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC 的距离。

解法1：如图1连结A'C'，则AC ∥面A'C'D'， 连结DA'、DC'、DO'，过O 作OE ⊥DO'于E因为A'C'⊥面BB'D'D ，所以A'C'⊥OE 。

又O'D ⊥OE ，所以OE ⊥面A'C'D 。

因此OE 为直线DA'与AC 的距离。

求得在Rt △OO'D 中，，可点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。

解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C 、AB'A'，得到分别包含DA'和AC 的两个平面A'C'D 和平面AB'C ，又因为A'C'∥AC ，A'D ∥B'C ，所以面A'C'D ∥面AB'C 。

故DA'与AC 的距离就是平面A'C'D 和平面AB'C 的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。

不难算出，所以，所以异面直线BD 与之间的距离为。

点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。

题型2：线线夹角例2．如图1，在三棱锥S —ABC 中，，，，，求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

B CA DB' C'O'A' D'图1EO C BD AC' O 2 B'D' A'O 1图2SACB图1解法1：用公式 当直线平面，AB 与所成的角为，l 是内的一条直线，l 与AB 在内的射影所成的角为，则异面直线l 与AB 所成的角满足。

以此为据求解。

由题意，知平面ABC ，，由三垂线定理，知，所以平面SAC 。

因为，由勾股定理，得。

在中，，在中，。

设SC 与AB 所成角为，则，解法2：平移过点C 作CD//BA ，过点A 作BC 的平行线交CD 于D ，连结SD ，则是异面直线SC 与AB 所成的角，如图2。

又四边形ABCD 是平行四边形。

由勾股定理，得：。

SA BCD图2在中，由余弦定理，得：。

点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。

题型3：点线距离例3．（2002京皖春，15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）.M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 。

解析：过M 作MO ⊥EF ，交EF 于O ，则MO ⊥平面BCFE . 如图所示，作ON ⊥BC ，设OM =x ， 又tan MBO =21，∴BO =2x 又S △MBE =21BE ·MB ·sin MBE =21BE ·ME S △MBC =21BC ·MB ·sin MBC =21BC ·MN∴ME =MN ，而ME =152-x ，MN =12+x ，解得x =22。

点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。

题型4：点面距离例4．（2006福建理，18）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2。

（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离。

(1)证明：连结OC 。

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD 。

∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD 。

在△AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3。

而AC=2，∴AO 2+CO 2=AC 2, ∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC 。

,0=OC BD ∴AB ⊥平面BCD 。

（Ⅱ）解：取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ,OE ∥DC 。

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。

在△OME 中，,121,2221====DC OE AB EM OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴,121==AC OM ∴,42cos =∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos （Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .CDE A ACD A V V --- ,图∴h 31·S △ACD =31·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2,AD =2,∴S △ACD =,2722222132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯ 而AO =1, S △CDE =,23243212=⨯⨯ ∴h =,72127231=⨯=•∆∆ACDCDE S S AO∴点E 到平面ACD 的距离为721。

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型5：线面距离例5．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为4cm 的正三角形，侧棱AA 1与底面两边AB 、AC 均成600的角，AA 1=7。

（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的全面积； （3）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积； （4）求AA 1到侧面BB 1C 1C 的距离。

解析：设A 1在平面ABC 上的射影为0。

∵ ∠A 1AB=∠A 1AC ，∴ O 在∠BAC 的平行线AM 上。

∵ △ABC 为正三角形，∴ AM ⊥BC 。

又AM 为A 1A 在平面ABC 上的射影，∴ A 1A ⊥BC（2）3142374AB A sin AA AB S S 11B B AA C C AA 1111=⨯⨯=∠⋅==∵ B 1B ∥A 1A ，∴ B 1B ⊥BC ，即侧面BB 1C 1C 为矩形。

∴ 2874S C C BB 11=⨯=又34443S S 2ABC C B A 111=⨯==∆∆，∴ S 全=)cm (336282342823142+=⨯++⨯ （3）∵ cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB ，∴ cos ∠A 1AO=3330cos 60cos OAB cos AB A cos 001==∠∠∴ sin ∠A 1AO=36，∴ A 1O=A 1Asin ∠A 1AO=637∴ )cm (228637443O A S V 321ABC =⨯⨯=⋅=∆（4）把线A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离转化为点A 或A 1到平面BB 1C 1C 的距离 为了找到A 1在侧面BB 1C 1C 上的射影，首先要找到侧面BB 1C 1C 的垂面设平面AA 1M 交侧面BB 1C 1C 于MM 1∵ BC ⊥AM ，BC ⊥A 1A ∴ BC ⊥平面AA 1M 1M∴ 平面AA 1M 1M ⊥侧面BCC 1B 1 在平行四边形AA 1M 1M 中过A 1作A 1H ⊥M 1M ，H 为垂足 则A 1H ⊥侧面BB 1C 1C∴ 线段A 1H 长度就是A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离∴ )cm (223632AM A sin M A H M A sin M A H A 11111111=⨯=∠=∠= 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。