[答案] A[解析] ①错误，如函数f (x )＝1x2是偶函数，但其图像与y 轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x ＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f (x )＝0，x ∈(－a ，a )．3．(2011·宝山模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则( ) A ．a ＝13，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0[答案] A[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0.又定义域为[a －1,2a ]，∴(a －1)＋2a ＝0，∴a ＝13.4． (2009·理)若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝______.[答案]12[解析] 考查函数的奇偶性．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即12－1－1＋a ＝－12－1－a ，∴a ＝12. （四）典型例题1.命题方向：奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(x －1)1＋x 1－x ； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xx <0x 2－xx >0； (4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.[解析] (1)由1＋x1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg(1－x2)x，∵f (－x )＝－lg[1－－x2]－x＝lg 1－x2x＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x )当x >0时，－x <0则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x )∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．另解：1°画函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0x 2－xx >0的图像．图像关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．2°f (x )还可写成f (x )＝x 2－|x |，故为偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0x 2－3≥0得x ＝－3或x ＝ 3 ∴函数f (x )的定义域为{－3，3}又∵对任意的x ∈{－3，3}，f (x )＝0. ∴f (－x )＝f (x )＝－f (x ) (5)函数f (x )的定义域为R当a ＝0时 f (x )＝f (－x ) ∴f (x )是偶函数 当a ≠0时 f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－2|a |＋2f (a )≠f (－a ) 且f (a )＋f (－a )＝2(a 2－|a |＋2)＝2(|a |－12)2＋72≠0∴f (x )是非奇非偶函数．[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x 的围取相应的函数表达式或利用图像判断． 跟踪练习1判断函数f (x )＝16－x2|x ＋5|－5的奇偶性．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0|x ＋5|－5≠0解得－4≤x <0或0<x ≤4，∴函数的定义域关于原点对称．∵f (x )＝16－x 2|x ＋5|－5＝16－x2x，∴f (－x )＝16－(－x )2－x ＝－16－x2x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数.2.命题方向：奇偶性的应用[例2] 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，∴b ＝1.∴f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，∴a ＝2.(2)解法1：由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，∴t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.解法2：由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)·(－22t 2－k ＋1)<0.整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.跟踪练习2已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，数t 的取值围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤022－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.（五）思想方法点拨1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y ＝x 2(x ∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此， 一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称． ★函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：第一步先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数． 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0或f (x )－f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝－f 2(x )或f (x )/f (－x )＝－1为奇函数．若有f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0或f (x )＋f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝f 2(x )或f (x )/f (－x )＝1为偶函数．(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称”来判断． (3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”． (4)性质法（3）0.50.2和0.30.4[分析] 比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值．[解析]（1）-131()9=139--由于幂函数13y x-=在(0,)+∞上是减函数，所以138-＞139-，因此138--＜139--，即138--＜-131()9（2）由于254.1＞1,0＜253.8-＜1，35(1.9)--,0，因此254.1＞253.8-＞35(1.9)--.(3)由于指数函数0.2xy=在R上是减函数，所以0.50.2＜0.30.2。

又由于幂函数0.3y x=在(0,)+∞上是增函数，所以0.30.2＜0.30.4，故有0.50.2＜0.30.4.跟踪练习3当0﹤a﹤b﹤1时，下列不等式正确的是（）[答案] D[解析] 由0<a<b<1，可知a<b,0<a<1，∴0<1－b<1－a<1，∴(1－a)b<(1－a)a，∴(1－a)a>(1－b)b.（五）思想方法点拨幂函数性质的理解1．当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图像都过点(0,0)(1,1)；②在第一象限，函数值随x的增大而增大；③在第一象限，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展．2．当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；③在第一象限，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．3．(1)幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．(2)作函数y＝xα的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x<0的图像即可．(3)幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限．（六）课后强化作业一、选择题1．如图所示函数图像中，表示23y x=的是( )[答案] D[解析] 因为23∈(0,1)，所以23y x=的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数23y x=是偶函数，故图像应为D.2．(2011·模拟)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中不满足任何一个等式的是( )A．f(x)＝3x B．f(x)＝xα C．f(x)＝log2x D．f(x)＝kx(k≠0)[答案] B[解析] f(x)＝3x满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)；f(x)＝log2x满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，而f(x)＝xα不满足任何一个等式．3．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值为( )A．－1或2 B.1±52C．2 D．－1[答案] C[解析] 因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2－m－1＝1，m2－2m－3<0，解得m＝2.4．设n∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使得f(x)＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 只有当n＝－1时，f(x)＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．5．(2010·文)设253()5a=，352()5b=，252()5c=则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a [答案] A[解析] 该题考查幂函数和指数函数的性质．对b和c，考查指数函数y＝(25)x，单调递减．故352()5＜252()5，即b<c.对a和c，考查幂函数．y=25x，在(0，＋∞)上单调递增，∴253()5＜252()5，即a>c，∴a>c>b，故选A.6．若集合A＝{y︳y=13x，－1≤x≤1}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x，x≤0，则A∩B＝( )A．(－∞，1) B．[－1,1] C．∅D．{1} [答案] D[解析] y=13x在－1≤x≤1时，有－1≤y≤1；y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在x≤0时，有y≥1，∴A∩B＝{1}．7．(文)(09·)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0[答案] C[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1.(理)函数9ny x= (n∈N且n>9)的图像可能是( )[答案] C[解析] ∵f(－x)＝9nx-=9n x=f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.令n＝18，则y＝12x，当x≥0时，y＝12x，由其在第一象限的图像知选C.8．把函数f(x)＝x3－3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2，若对任意u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．8[答案] B[解析] ∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3(x2－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.∴x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上为增函数；x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，f (x )在(－1,1)上为减函数； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )极大值＝f (－1)＝2，f (x )极小值＝f (1)＝－2.图像C 2是由图像C 1向右平移u 个单位长度，向下平移v 个单位长度所得到．当图像C 2的极大值点与C 1的极小值点重合时，v 有最小值，如图所示，即v 的最小值为4.二、填空题9．(2011·模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.[答案]32[解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32.10．若，则它们的大小关系是________．[答案] c <b <a [解析]，即c <b <a .11．当x ∈(0,1)时，y ＝x p(p ≥0)的图像在直线y ＝x 上方，则p 的取值围是________． [答案] [0,1)[解析] 结合幂函数y ＝x α在第一象限的图像，当0<α<1时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数，且x ∈(0,1)时，图像在y ＝x 上方，x ∈(1，＋∞)时，图像在y ＝x 下方； 又p ＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)也满足． 故p 的取值围是0≤p <1.。