2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）试题一、单选题 1．已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）A B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】由题意知21i z i ===+ 利用性质2z z z ⋅=，得2z z ⋅=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.2．已知集合{|A x Z y =∈=，{B a =，1}，若A B B =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2或3 D ．2或3【答案】D【解析】求出集合A 中的元素，再根据集合的运算结果可得B A ⊆，进而可求出实数a 的值. 【详解】解：{}2{|430}{|13}1,2,3A x Z x x x Z x =∈--≥=∈≤≤=，且{},1B a =，由A B B =，知B A ⊆，则实数a 的值为2或3.故选：D ． 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4．已知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．sin sin a b > B ．a b c c > C ．c c a b <D ．11c c b a--<【答案】B【解析】根据指数函数(1)xy c c =>为增函数可得. 【详解】解：因为1c >，xy c =为增函数，且a b >，所以a b c c >， 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题. 5．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）A ．43πB ．323π C ．4π D ．823π 【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形. 【详解】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A BCD -， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即223R =，所以外接球的体积()334434333V R πππ===．故选：A ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.7．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[1d ∈，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为（ ）A．72B．5319C．2319-D．12-【答案】D【解析】利用等差数列通项公式推导出131819ddλ-=+，由[1d∈，2]，能求出实数λ取最大值.【详解】数列{}n a是等差数列，11a=，公差[1d∈，2]，且4101615a a aλ++=，13(19)11515d d dλ∴+++++=，解得131819ddλ-=+，[1d∈，2]，13181521919dd dλ-==-+++是减函数，1d∴=时，实数λ取最大值为13181192λ-==-+.故选：D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8．已知x，y满足条件{20xy xx y k≥≤++≤(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()A．－16 B．－6 C．-83D．6【答案】B【解析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.9．正三角形ABC P 在其外接圆上运动，则AP PB ⋅的取值范围是（ ） A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=︒，由题意可得()12AP PB OP OA OB ⋅==⋅+-，设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=︒． 由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB =⋅--⨯⨯︒OA OP +⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =， 设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,θπ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B 【点睛】本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题. 10．已知点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，若点()01,M y 在抛物线C 上，且054y MF =，斜率为k 的直线l 经过点()1,3Q -，且与抛物线C 交于A ，B （异于M ）两点，则直线AM 与直线BM 的斜率之积为（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12-【答案】B【解析】根据抛物线的焦半径公式||12pMF =+，即可求出p 的值，求出()1,1M ，设直线l 方程与抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标关系，再将直线AM 与直线BM 的斜率之积用,A B 坐标表示，化简即可证明结论. 【详解】由抛物线的定义知02pMF y =+，则00524p y y +=，解得02y p =， 又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2:2C x py =，得021py =，得01y =，12p =， 所以()1,1M ，抛物线2:C x y =，因为斜率为k 的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，联立方程得()231y k x x y⎧-=+⎨=⎩，即230x kx k ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12123x x kx x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率2111111AMx k x x -==+-，直线BM 的斜率2222111BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题. 11．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e <【答案】C【解析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1xh x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.二、填空题12．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n =________. 【答案】60【解析】先求出总体中中A 种型号产品所占的比例，是样本中A 种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量． 【详解】解：由题意知，总体中A 种型号产品所占的比例是3323510=++，因样本中A 种型号产品有18件，则31810n ⨯=，解得60n =． 故答案为：60 【点睛】本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题．13．某公司105位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，105x ，其均值和方差分别为3800和500，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值和方差分别为________． 【答案】3900；500【解析】根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响，求得下个月工资的均值和方差. 【详解】依题意，本月工资均值3800x =，方差2500S =.从下个月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值为10038001003900x +=+=，方差为2500S =.故答案为：3900；500 【点睛】本小题主要考查样本均值和方差的性质，属于基础题.14．设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为________． 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】由题可知数()f x 在[)0,+∞上为增函数，不等式可化为()()22f a f ->，利用单调性可得22a ->，解出即可.【详解】∵偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，且()20f =，∴不等式()20f a ->等价为()()22fa f ->，∴22a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <．故答案为：()(),04,-∞+∞.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，1(1)262nn n nS a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是__.【答案】723,44⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】由1(1)262nn n n S a n =-++-，可得11142a a =-+-，解得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，化为：111[1(1)](1)22n n n n n a a +-+-=--+，对n 分类讨论，利用数列的单调性、不等式的性质即可得出. 【详解】1(1)262n n n nS a n =-++-， 11142a a ∴=-+-，解得174a =-， 当2n ≥时，111111(1)26[(1)2(1)6]22n n n n n n n n n a S S a n a n ----=-=-++---++--， 化为：111[1(1)](1)22n nn n n a a +-+-=--+，当2n k =（*k N ∈）时，1122n na -=-+，即212122k k a -=-+，2122122k k a ++=-+. 当21n k =-（*k N ∈）时，化为11222n n na a -=--+， 2221211222k k k a a ---∴=-+-，2212121122622k k k k a a ++=-+-=-， 1()()0n n a p a p +--<恒成立，∴当2n k =（*k N ∈）时，212()()0k k p a p a +--<，222112622k k p +∴-+<<-， 11261616p ∴-+<<-；当21n k =-（*k N ∈）时，221()()0k k p a p a ---<，22112622k k p ∴-+<<-. 72344p ∴-<<，则实数p 的取值范围是：723(,)44-. 故答案为：723,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题16．已知锐角ABC 面积为S ，A ∠，B ，C ∠所对边分别是a ，b ，c ，A ∠，C ∠平分线相交于点O，b =222)4S a c b =+-．求： （1）B 的大小；（2）AOC △周长的最大值． 【答案】（1）3B π=；（2）4+【解析】（1）由222()4S a c b =+-结合三角形的面积公式和余弦定理可得1csin 2cos 2a B a B =，从而可求出B 的大小； （2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，由正弦定理可得sin sin sin 33OA OC παα==⎛⎫- ⎪⎝⎭4sin 4sin 3l παα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再用三角恒等变换公式化简，结合三角函数的性质可得答案 【详解】 （1）∵)222S a c b =+-，∴)2221sin 2ac B a c b =+-，故：1csin 2cos tan 23a B a B B B π=⇒==．（2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∵OA 、OC 分别是A ∠、C ∠的平分线，3B π=，∴23AOC π∠=． 由正弦定理得23sin sin sin 33OA OC ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以4sin ,4sin 3OC OA παα⎛⎫==-⎪⎝⎭所以4sin 4sin 233l παα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 233πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴57,31212πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当6πα=时，AOC △周长的最大值为423+．【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题17．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求0y ，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取20个元件，元件寿命落在100~300之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在100~200之间，一个元件寿命落在 200~300之间”的概率. 【答案】（1）5；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得0y ，分层抽样是按比例抽取，所以根据比值可求得件寿命落在100~300之间的抽取个数；（2）分别求出落在100~200之间和落在200~300之间的元件个数。