一阶电路的充放电时间常数τ　Ξ
宋文玉
(山东师范大学学报编辑部,250014,山东省济南市)
摘　要　从电路方程推导出一阶电路充放电时间常数τ,并论证了τ的物理意义和几种计
算方法.
关键词　一阶电路　零输入响应　零状态响应　特征频率　时间常数
分类号　O453
根据动态元件的伏安关系和电路的约束关系,可以对给定的一阶电路列写其动态方程式[1].例如,对图1所示R C电路,由基尔霍夫电流定律KCL得
i C+i R=i S.(1)
代入元件的伏安关系V A R,整理得
d v d t +
1
R C
V(t)=
i S
C
(2)
对于RL电路(图2),由基尔霍夫电压定律KV L得
v L+v R=v S.(3)代入元件伏安关系VAR,整理得
d i
d t+R
L
i=
v S
L
.(4
)
图　1 图　2
可以看出,(2)式给出的是R C电路中电容电压及其导数与电路参数、激励源之间的动态第22卷　第1期
1996年1月
曲阜师范大学学报
Journal　of　Qufu　Normal　University
Vol.22　No.1
Jan.1996
Ξ收稿日期:1995—01—09
关系(R C 电路动态方程),(4)式给出的是RL 电路中电感电流及其导数与电路参数和激励源之间的动态关系(RL 电路动态方程)所决定.它们都是线性常系数一阶常微分方程,其一般表示式为
d y d t
+αy (t )=f (t ),t ≥0.(5)由高等数学知识可知,一阶微分方程的解等于该方程的特解与对应的齐次微分方程的通解之和[2],即
y (t )=y x (t )+y f (t ),
(6)其中,y x (t )=y (0)e -αt 是一衰减的指数函数,它与输入激励无关,仅取决于电路的初始状态y (0)和电路的结构,又称为输入激励为零时,由初始状态引起的响应(零输入响应);y f (t )=∫t 0e -α(t -τ)f (τ
)d τ是输入激励f (t )的积分,与初始状态无关,仅仅由输入激励所引起的响应(零状态的响应)所决定.
比较式(2)与式(5),得α=1/(R C ),它是由电路参数所决定的.因为电路的零输入响应y x (t )=y (0)e -αt =y (0)e -t RC ,是随时间衰减的指数函数,其中指数项e -αt =e -t
RC 必然是无量纲
的.因此R 和C 的乘积具有时间的量纲[R ][C ]=欧姆・法拉=伏特安培・库仑伏特=库仑安培
=秒.所以在电路理论中α=τ=1/(R C );在RL 电路中则α=τ=L /R ,它们统称为一阶电路的充放电时间常数.
从高等数学中可以得到,反映电路参数的时间常数τ实际上是一阶微分方程特征根S 的倒数的相反数(S =-R C ),因此,S 具有时间倒数或频率的量纲,称为电路的固有频率.在电路理论中,固有频率代表电路的固有性质,在R C 和RL 电路中固有频率都是负实数,表明电路的零输入响应是按指数规律衰减的,而衰减的快慢由τ的大小所决定.
一阶电路的零输入响应是由电路初始状态所引起的响应,或者说是由于在t =0时刻电容或电感贮能而引起的电路响应.由于电阻R 的存在,在没有外施电源条件下(f (t )=0),原有的贮能必然要衰减到零.即在R C 电路中,电容电压v c 由初始值v (0)单调地衰减到零,其时间常数τ=R C ;在RL 电路中,电感电流由初始值i (0)单调地衰减到零,其时间常数τ=L /R.还应当指出,在R C 和RL 电路中各元件电压、电流与状态变量v C 、i L 有的是受代数关系约束(如R ),有的是受微分或积分关系约束(如C 和L ),而一个指数函数的导数或积分仍然是一个指数函数,只是其系数不同而已.因此,R C 、RL 电路中其它各元件电压、电流也是按指数规律衰减的,并且具有同样的时间常数,只是初始值各不相同而已.
由y x (t )=y (0)e -
t/τ,将一阶电路的零输入响应随时间按指数规律衰减的变化趋势列表如下:
附　表
t
0τ2τ3τ4τ5τ...∞y x (t )y (0)0.368y (0)0.135y (0)0.050y (0)0.018y (0)0.007y (0) 0
19第1期 宋文玉:一阶电路的充放电时间常数τ
由附表可以看出,在t =τ时,y (t )衰减到y (0)的0.368倍.因此可得:时间常数τ为一阶电路零输入响应中状态变量衰减为原来值的36.8%所需要的时间.当不知道电路中电阻、电容(或电感)的大小时,可用实验的方法测出电容电压或电感中电流随时间变化的曲线,在初始时刻(t =0)做y (0)的切线,使其与y (∞)时的值相交,相交点在时间轴上的投影即为该电路的时间常数τ[3].
在零输入状态下电路的响应曲线是按指数规律衰减的(图3),在零状态下电路的响应曲线是按指数规律增长的(图4).电路在y (0)(≠0)、f (t )(≠0)共同作用下的完全响应又分两种情况:当y (∞)>y (0)时表示电路变量y (t )在f (t )激励下,最终值大于初始值(图5),电路状态变量仍按指数规律增长;当y (∞)<y (0)时,表示电路状态变量按指数规律由y (0)衰减到y (∞)(图6)
.
图3　电路的零输入响应图4　
电路的零状态响应
　图5　y (∞)>y (0)时电路的完全响应图6　y (∞)<y (0)时电路的完全响应我们以图5为例,证明y (t )在t =0时刻的切线与y (∞)数值的相交点在时间轴上的投影即为电路的时间常数τ.因为
tg α=d y (t )
d t t =0=d d t
y (∞)+[y (0)-y (∞)]e -t/τt =0=1τ[y (∞)-y (0)].(7)tg α=y (∞)-y (0)
ab
,(8)则ab =τ.(9)
在相同初始条件下,对应电路的不同时间常数,电路状态变量的变化曲线各不相同.图7
29
曲阜师范大学学报(自然科学版) 1996年
给出了当τ3>τ2>τ1时,电路状态变量的变化曲线.
在R C 电路中,对应相同的初始条件,C 越大,贮存的能量越多(W C =(1/2)Cv 20),而R 越大,电路中电流越小(i =v C R e -t/τ),放电持续时间越长.因此,τ正比于R C 乘积.在RL 电路中,对应于相同的初始条件,L 越大,贮存能量越多(W L =(1/2)L i 2(0)),而R 越小,电阻消耗的功率越小(P =i 2R ),电阻上能量的变化越慢(P =d w /d t ),放电时间越长,因此,在RL 电路中τ=L /
R.
图7　电路状态变量的变化曲线
在电路理论中,改变电路的时间常数,不仅可以延长或缩短电路的充放电时间,还可以组成微分电路、积分电路,以及耦合电路、加速电路等.
参考文献
1　郭根生,宋文玉.一阶电路的完全响应.山西师大学报,1994,2:29
2　同济大学数学研究室编.高等数学(下).北京:高等教育出版社,1980.251
3　邱关源主编.电路.北京:人民教育出版社,1984.310
THE NATURAL TIME CONSTANT OF A FIRST -OR DER CIRCUIT
S ong Wenyu
(Editorial Department of Journal ,Shandong Teachers University ,250014,Jinan ,Shandong )
Abstract The natural time constant of a first-order circuit from the equation of the circuit is given ,and the physics meaning and several calculating methods of τare discussed.
K ey w ords first-order circuit zero-input response zero-state response natural frequen 2cy time constant 39第1期 宋文玉:一阶电路的充放电时间常数τ 。