专题训练(四)直角坐标系中的分类讨论
►类型一由距离产生的分类讨论
1．若点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为____________________________．
2．已知点A(2a＋1，a＋7)到x轴、y轴的距离相等，求a的值．
►类型二由面积产生的分类讨论
3．已知△ABC的三个顶点均在坐标轴上，A(2，0)，C(0，－4)，且△ABC的面积为6，求点B的坐标．
►类型三由直角三角形产生的分类讨论
4．已知Rt△ABC的顶点A(2，0)，B(2，3)，斜边BC的长为5，则顶点C的坐标为________________________________________________________________________．
►类型四由全等三角形产生的分类讨论
5．已知点A(2，3)，AB⊥x轴于点B，O为原点．已知点P，Q分别在x轴、y轴上，且以P，O，Q为顶点的三角形与△ABO全等．
(1)若P(3，0)，求点Q的坐标；
(2)若点P在x轴的正半轴上，求点Q的坐标．
►类型五由等腰三角形产生的分类讨论
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有________个．
7．如图4－ZT－1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．
图4－ZT－1
详解详析
1．[答案] (2，3)或(2，－3)或(－2，3)或(－2，－3)
[解析] 由点P到x轴的距离为3，知点P的纵坐标为±3；由点P到y轴的距离为2，知点P的横坐标为±2.故点P的坐标为(2，3)或(2，－3)或(－2，3)或(－2，－3)．
2．解：由题意，得
2a ＋1＝a ＋7或2a ＋1＝－a －7，
解得a ＝6或a ＝－83
. 3．解：设O 为坐标原点．
①当点B 在x 轴上时，S △ABC ＝12
AB·OC ， ∴12
AB ×4＝6， ∴AB ＝3，即B(－1，0)或(5，0)；
②当点B 在y 轴上时，S △ABC ＝12
BC·OA ， ∴12
BC ×2＝6，∴BC ＝6，即B(0，－10)或(0，2)． 综上可知，点B 的坐标为(－1，0)或(5，0)或(0，－10)或(0，2)．
4．[答案] (－2，0)或(6，0)
[解析] 由BC 是斜边知AB ⊥AC ，而AB ∥y 轴，∴点C 在x 轴上，且AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4，∴C(－2，0)或(6，0)．
5．解：在△AOB 中，∠ABO ＝90°，AB ＝3，OB ＝2.在△POQ 中，∠POQ ＝90°.
(1)∵OP ＝3＝AB ，当OQ ＝OB ＝2时，△POQ ≌△ABO ，∴点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．
(2)①当OP ＝AB ＝3，OQ ＝OB ＝2时，△POQ ≌△ABO ，∴Q(0，2)或(0，－2)； ②当OP ＝OB ＝2，OQ ＝AB ＝3时，△QOP ≌△ABO ，∴Q(0，3)或(0，－3)． 综上可知，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)或(0，3)或(0，－3)．
6．[答案] 8
[解析] 如图所示，使得△AOP 是等腰三角形的点P 共有8个．
7．解：由题意，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
(1)如图①所示，OP ＝OD ＝5.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝4.
在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，∴此时点P的坐标为(3，4)．
(2)如图②所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，
∴此时点P的坐标为(2，4)．
(3)如图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，
∴此时点P的坐标为(8，4)．
综上可知，点P的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．。