2020年上海市普陀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设三个内角A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：奖金（单位：元）80005000400020001000800700600500员工（单位：人）12461282052根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最小值为（）A. B. C. D. π二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______7.函数的定义域为______8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中心，且其方向向量，则直线l的方程为______9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|=______10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为______11.设x、y均为非负实数，且满足，则6x+8y的最大值为______12.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______13.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，a lg a•b lg b•c lg c≥10，则a+b+c=______14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底面ABCD的距离为______15.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图，若四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，则AD与平面ABC所成角大小为______（结果用反三角函数值表示）16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P-AB-O的大小（结果用反三角函数值表示）．18.设函数．（1）当x∈R时，求函数f（x）的最小正周期；（2）设，求函数f（x）的值域及零点．19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积．20.设数列{a n}满足：a1=2，2a n+1=t•a n+1（其中t为非零实常数）．（1）设t=2，求证：数列{a n}是等差数列，并求出通项公式；（2）设t=3，记b n=|a n+1-a n|，求使得不等式成立的最小正整数k；（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有a n＜a n+1，当a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，求t、p、q的值．21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意一点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（-4，2），求△DAB的面积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；（3）设点M满足，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准方程为：．故选：D．设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵a2+b2=c2+ab，∴cos C==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成立的必要非充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的大小，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.答案：C解析：解：将员工的奖金的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.答案：B解析：解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，故选：B．由三角函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三角函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，得解．本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．5.答案：{1，2}解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的一个顶点坐标（4，0），其一条渐近线方程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：[0，1）解析：解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.答案：y=x解析：解：由曲线C的参数方程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中心即圆心为（1，1），因为直线l的方向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l的方程为：y-1=x-1，即y=x，故答案为：y=x．将曲线C的参数方程消去参数θ可得曲线C的普通方程，是一个圆，可得中心为圆心（1，1），根据直线l的方向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直角坐标方程．本题考查了圆的参数方程，属中档题．9.答案：解析：解：∵z=1+i是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：3π解析：解：由题意可知几何体是放倒的圆柱，底面半径为1，左视图的面积为6，可得正视图是矩形，圆柱的高为3，所以圆柱的体积为：12•π•3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的高，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解几何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.答案：40解析：解：画出可行域又z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最大值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可行域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中一条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．12.答案：0.3解析：解：甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、乙和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利用互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：12解析：解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1．∴lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，又a lg a•b lg b•c lg c≥10⇔lg（a lg a•b lg b•c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，∴lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1，得到lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，由a lg a•b lg b•c lg c≥10⇔lg（a lg a•b lg b•c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，从而得到lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．14.答案：2解析：解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底面ABCD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底面ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底面ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底面ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底面ABCD的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：arcsin解析：解：∵四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平面ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平面ABC所成角为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平面ABC所成角大小为arcsin．故答案为：arcsin．推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面ABC所成角大小．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：（-∞，-4）∪（0，+∞）解析：解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），又由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜-4或x＞0，即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进而分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．17.答案：解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．∴圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，OP==2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（0，2，-2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，1），平面ABO的法向量=（0，0，1），设二面角P-AB-O的大小为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴二面角P-AB-O的大小为arccos．解析：（1）圆锥的表面积S=πr2+πrl，由此能求出结果．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-O的大小．本题考查圆锥的表面积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（1）函数=sin x cosx+cos2x-cos2x+=sin2x-•+=sin（2x-），故它的周期为T=π．（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，故函数的值域．令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．19.答案：解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x=0，得，则k=2400，∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：y=15×=+，x≥0；（2）+=+≥2=57.5，当且仅当，即x=55时取等号．∴当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，是中档题．（1）由，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．20.答案：解：（1）求证：t=2时，2a n+1=2a n+1，∴a n+1-a n=，∴{a n}是等差数列，首项为2，公差为，∴a n=2+（n-1）×=．（2）t=3时，2a n+1=3a n+1，a n+1=a n+，∴a n+1-1=（a n-1），又a1-1=1，∴数列{a n-1}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n-1=（）n-1，∴a n=（）n-1-1，b n=|a n+1-a n|=×（）n-1，b1+b2+b3+…+b k==1-（）k，∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，k的最小正整数值为10．（3）t≠2时，由2a n+1=ta n+1得a n+1=a n+，得a n+1-=（a n-）a n-=（2-）•n-1，∴a n=+（2-）•n-1，∵a n＜a n+1，∴{a n}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，又因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列①若公比≠1，不妨设a p+1＜a t+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，a p+1=2，a t+1=a2=5，，q不是整数，不成立．②若公比为1，则a p+1=a t+1=a q+1，∴p=t=q=1，综上，p=t=q=1．解析：（1）t=2时易证数列{a n}满足等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n的数列为等比数列，即可求出a n的通项公式，进而得到b n的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k的最小正整数值．（3）构造含有a n的数列为等比数列，即可求出a n的通项公式，再根据a n＜a n+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，分类讨论得到p，q的值．本题考查了等比数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线方程为y2=4x，即y=±2，y′=±．设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，故切线DA的方程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，切线DB的方程为：y2y=2x+2x2，∵D（-4，2）在两切线上，∴，故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，∴直线AB的方程为x-y-4=0，联立方程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，∴|AB|==4．又D到直线AB的距离为d==5，∴S△DAB==．（2）证明：如下图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的方程为y1y=p（x+x1），即，同理可得直线BD的方程为，联立直线AD和BD的方程，解得，由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得M（x1+x2，y1+y2），则MN的中点Q坐标为（，），k AB===，设直线AB的方程为y-y1=（x-x1），由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，代入得y3=x3．若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，因此y3=0或y3=2y0．即N（0，0）或N（，2y0）．①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），k MN==，又k AB===，由MN⊥AB，所以k AB•k MN=•=-1，即y12+y22=-4p2，矛盾．对于N（，2y0）．因为M（，2y0），此时直线MN平行于y轴，又k AB=，所以直线AB与直线MN不垂直，与题设矛盾，所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．综上所述，仅存在一点D（-2p，0）适合题意．解析：（1）求得抛物线方程，求得导数和切线斜率，可得切线方程，求得AB的方程和距离，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）求得AD，BD的方程和交点，即可得证；（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表示和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线方程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表示，考查分类讨论思想和化简整理的运算能力，属于难题．。