振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是
st，而弹性力分别是
F1 k1 st F2 k2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k2 ) st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
自由振动方程
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
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v0 pn
2
振动的振幅；
arctan
pn q0 q0
－振动的位相；q0－初始广义坐标；v0－初始速度。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
等效的概念
meq
d2 q dt2
keq q＝0
q＝C1cospnt C2cospnt
d2 q dt2
pnq＝0
q＝Asin pnt
pn＝
keq －系统的固有频率；A meq
q02
2.1 无阻尼系统的自由振动
振幅、初相位和频率
系统振动的周期 T 2π 2π m
pn
k
系统振动的频率 f 1 pn 1 k
T 2π 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。 f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为
自由振动方程
无阻尼自由振动微分方程
其通解为： x C1 cos pnt C2 sin pnt
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。
设t=0时， x x0，v v0 可解
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0 cos pnt
v0 pn
sin
pnt
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等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
mg k st
mg F1 F2 (k1 k2 ) st
k k1 k2
系统的固有频率 f 1 k 1 k1 k2
2π m and Structural Vibration
2.1 无阻尼系统的自由振动
等效的概念
等效刚度系数
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
m
d2 dt
x
2
k x＝0
这一方程，可以等效为广义坐标的形式
meq
d2 q dt2
keq q＝0
keq－等效刚度：使系统在广义坐标方向产生单位位移，
需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
meq－等效质量：使系统在广义坐标方向产生单位加速 度，需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
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2.1 无阻尼系统的自由振动
自由振动方程
取物块的静平衡位置为坐标原点O， x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。 当物块在静平衡位置时，由平衡条 件，得到
mg k st
弹簧的静变形
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工程振动与测试
第2章 单自由度系统的振动
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第2章单自由度系统的振动
目录
2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱
2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数 的算术和。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式
物块静平衡位置时
固有圆频率 pn
mg k st
k m
k mg
st
g
pn st
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第2章单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
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第2章 单自由度系统的振动 关于单自由度系统振动的概念 典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
2.1 无阻尼系统的自由振动
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为
自由振动方程
m
d2 x dt2
mg
k ( st
x)
d2 x dt2
pn2 x
0
k 其中pn m 固有圆频率
无阻尼自由振动微分方程
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2.1 无阻尼系统的自由振动